Figury płaskie — czworokąty i wielokąty foremne, obliczanie pól i obwodów · dział geometrii, który wraca w arkuszach regularnie — i w zadaniach zamkniętych, i w otwartych
Pola i obwody kwadratu, prostokąta, równoległoboku, rombu, trapezu i deltoidu, a do tego kąty w wielokątach foremnych. Wzory trzeba mieć w głowie — na egzaminie nie ma ani karty wzorów, ani kalkulatora.
Czworokąty to najczęściej rysowana grupa figur w arkuszu ósmoklasisty. Dział obejmuje kwadrat, prostokąt, równoległobok, romb, trapez i deltoid, a do tego wielokąty foremne i figury złożone z prostszych kawałków. Arkusz sprawdza go dwojako: w zadaniach zamkniętych z rysunkiem liczysz pole albo obwód z podanych wymiarów, a w zadaniach otwartych — zwykle praktycznych, o działce, podłodze albo ścianie do pomalowania — musisz zapisać całe rozumowanie, nie sam wynik. Kalkulatora nie ma, zestawu wzorów też nie, więc wzory na pole musisz znać na pamięć: to dział, w którym zapomniany wzór odbiera punkt od razu. Najwięcej kłopotów sprawiają trzy rzeczy — mnożenie dwóch boków równoległoboku zamiast boku przez wysokość, gubienie połówki we wzorach na romb, deltoid i trapez oraz przeliczanie jednostek pola: metry na centymetry idą razy 100, ale metry kwadratowe — razy 10 000.
Kwadrat: P = a², Ob = 4a, przekątna d = a√2. Prostokąt: P = a · b, Ob = 2 · (a + b), a przekątną liczysz z Pitagorasa — dla boków 6 cm i 8 cm wychodzi √(36 + 64) = 10 cm. Te dwa wzory są bazą dla figur złożonych, bo każdą z nich rozbijasz w końcu na prostokąty.
W obu figurach P = a · h, gdzie h to wysokość opuszczona na bok a — nigdy drugi bok. Romb liczysz też z przekątnych: P = ½ · d₁ · d₂. Przekątne rombu przecinają się w połowie pod kątem prostym, więc bok daje Pitagoras: dla przekątnych 12 cm i 16 cm bok to √(6² + 8²) = 10 cm, a obwód 40 cm.
Trapez: P = ½ · (a + b) · h, gdzie a i b to podstawy, czyli boki równoległe, a h to odległość między nimi. Obwód to zwykła suma czterech boków. W trapezie prostokątnym ramię prostopadłe do podstaw jest właśnie wysokością. Deltoid ma przekątne prostopadłe, więc liczysz go jak romb: P = ½ · d₁ · d₂.
Wielokąt foremny ma równe boki i równe kąty. Suma kątów wewnętrznych wielokąta o n bokach to (n − 2) · 180°, więc w foremnym jeden kąt ma (n − 2) · 180° : n. Stąd pięciokąt 108°, sześciokąt 120°, ośmiokąt 135°. Sześciokąt foremny dzieli się na sześć trójkątów równobocznych, a pole takiego trójkąta to a²√3 : 4.
Figurę o samych kątach prostych tniesz na prostokąty i dodajesz ich pola albo dopełniasz do dużego prostokąta i odejmujesz wycięty kawałek — oba sposoby dają ten sam wynik. W układzie współrzędnych długość boku równoległego do osi to różnica współrzędnych: od x = −2 do x = 6 jest 8 jednostek.
1 m² = 100 dm² = 10 000 cm², 1 ar = 100 m², 1 ha = 100 arów = 10 000 m², 1 km² = 1 000 000 m². Ćwicz też rachunek w drugą stronę: z pola i podstaw trapezu wyliczysz wysokość jako h = 2P : (a + b), a z pola kwadratu — bok jako a = √P.
Te pomyłki kosztują punkty w zadaniach z tego działu.
Iloczyn przekątnych to pole prostokąta, w który romb jest wpisany — romb zajmuje dokładnie jego połowę. Ta sama połówka obowiązuje w deltoidzie, bo tam przekątne też są prostopadłe.
Połówka stoi przed nawiasem i nie wolno jej pominąć. Szybki sprawdzian: trapez mieści się w prostokącie o wymiarach dłuższa podstawa razy wysokość, więc jego pole musi być mniejsze niż 8 · 5 = 40 cm².
Mnożenie dwóch sąsiednich boków daje pole tylko w prostokącie. W równoległoboku bierzesz bok i wysokość opuszczoną na ten bok — a wysokość jest krótsza od drugiego boku, dopóki kąt nie jest prosty.
Przy jednostkach pola mnożysz przez kwadrat przelicznika długości: 1 m to 100 cm, więc 1 m² to 100 · 100 = 10 000 cm². Tak samo 1 dm² = 100 cm², a 1 ha = 10 000 m².
Ile stopni ma kąt wewnętrzny ośmiokąta foremnego? A. 108° B. 120° C. 135° D. 144°
Odpowiedź C. Suma kątów wewnętrznych ośmiokąta to (8 − 2) · 180° = 1080°, a w foremnym wszystkie kąty są równe, więc 1080° : 8 = 135°.
Równoległobok ma boki długości 12 cm i 9 cm, a wysokość opuszczona na bok długości 12 cm ma 6 cm. Oceń prawdziwość zdań. 1. Obwód tego równoległoboku jest równy 42 cm. 2. Wysokość opuszczona na bok długości 9 cm ma 6 cm.
Pierwsze zdanie prawdziwe, drugie fałszywe. Obwód to 2 · (12 + 9) = 42 cm. Pole liczone z pierwszej wysokości wynosi 12 · 6 = 72 cm², więc druga wysokość to 72 : 9 = 8 cm, a nie 6 cm.
Dopasuj do każdej figury jej pole: A. romb o przekątnych 8 cm i 5 cm, B. trapez o podstawach 9 cm i 3 cm oraz wysokości 6 cm, C. deltoid o przekątnych 12 cm i 5 cm. Pola: 1. 20 cm², 2. 24 cm², 3. 30 cm², 4. 36 cm².
A — 1, B — 4, C — 3. Kolejno: ½ · 8 · 5 = 20 cm², ½ · (9 + 3) · 6 = ½ · 12 · 6 = 36 cm², ½ · 12 · 5 = 30 cm². Pole 24 cm² jest dodatkowe i nie pasuje do żadnej figury.
Ściana w pokoju ma kształt prostokąta o wymiarach 5 m × 3 m. W ścianie jest okno w kształcie prostokąta o wymiarach 1,5 m × 1,2 m. Oblicz pole powierzchni ściany, którą trzeba pomalować.
Wynik: 13,2 m². Pole całej ściany to 5 · 3 = 15 m², pole okna 1,5 · 1,2 = 1,8 m², a szukane pole to różnica 15 − 1,8 = 13,2 m².
W układzie współrzędnych dany jest czworokąt ABCD o wierzchołkach A = (−2, −1), B = (6, −1), C = (4, 4), D = (−2, 4). Uzasadnij, że jest to trapez, i oblicz jego pole.
Pole wynosi 35. Boki AB i DC leżą na prostych y = −1 i y = 4, więc są równoległe — to trapez o podstawach |AB| = 6 − (−2) = 8 i |DC| = 4 − (−2) = 6. Bok AD jest pionowy i prostopadły do podstaw, więc jest wysokością: h = 4 − (−1) = 5. Stąd P = ½ · (8 + 6) · 5 = 35.
Masz dwa wzory. Jeśli znasz bok i wysokość, liczysz P = a · h, tak jak w równoległoboku. Jeśli znasz przekątne — P = ½ · d₁ · d₂, czyli dla przekątnych 10 cm i 6 cm pole wynosi ½ · 10 · 6 = 30 cm². Drugi wzór działa też dla deltoidu, bo tam przekątne też są prostopadłe.
Nie. Na egzaminie ósmoklasisty z matematyki nie ma ani zestawu wzorów, ani kalkulatora. Wzory na pola i obwody musisz znać na pamięć, a rachunki wykonać sposobem pisemnym. Liczby w zadaniach są dobrane tak, by dało się je policzyć na kartce.
Dla wielokąta o n bokach suma kątów wewnętrznych to (n − 2) · 180°: w czworokącie 360°, w pięciokącie 540°, w sześciokącie 720°. W wielokącie foremnym wszystkie kąty są równe, więc jeden kąt to ta suma podzielona przez n — w pięciokącie 108°, w sześciokącie 120°.
Metr kwadratowy to 10 000 cm², a nie 100 cm². Przelicznik długości podnosisz do kwadratu: 1 m to 100 cm, więc 1 m² to 100 · 100 cm². Zapamiętaj cały łańcuch: 1 m² = 100 dm² = 10 000 cm², 1 ar = 100 m², 1 hektar = 10 000 m², 1 km² = 1 000 000 m².
Zadania z naszej bazy, sprawdzane natychmiast. Bez logowania.
Krótka diagnoza pokazuje wynik od razu, z rozbiciem na części arkusza. Bez logowania i bez opłat.
Wybierz, które kategorie plików cookies akceptujesz. Zgodę możesz zmienić w dowolnym momencie.
Sesja, bezpieczeństwo, podstawowa funkcjonalność (logowanie, koszyk subskrypcji, zabezpieczenia reCAPTCHA). Bez nich serwis nie działa.
Google Analytics 4 — anonimowe statystyki użycia serwisu. Pomaga nam poprawiać aplikację na podstawie tego, które funkcje są faktycznie używane.
Google Ads — remarketing i pomiar skuteczności reklam. Dzięki temu możemy pokazywać Ci trafniejsze reklamy i finansować rozwój darmowej wersji.
Zapamiętywanie preferencji (motyw ciemny/jasny, wybrane przedmioty, ustawienia sesji).
Dopasowywanie treści do Twoich zainteresowań (rekomendacje pytań, spersonalizowane powiadomienia o powtórkach).