Sprawdzian z trójkątów z odpowiedziami — 5 pytań bez konta, wynik w skali ocen
Figury geometryczne na płaszczyźnie — trójkąty, ich pola i twierdzenie Pitagorasa · twierdzenie Pitagorasa w arkuszu CKE z maja 2025 r. w zadaniach 11 i 21, z maja 2026 r. w zadaniach 10 i 20; suma kątów trójkąta — maj 2025, zadanie 18
Rodzaje trójkątów, suma kątów, nierówność trójkąta, pole i wysokości oraz twierdzenie Pitagorasa. Wzory z tego działu musisz znać na pamięć — na egzaminie nie ma karty wzorów ani kalkulatora.
Ten dział obejmuje rodzaje trójkątów, sumę kątów, nierówność trójkąta, wysokości i pole, a przede wszystkim twierdzenie Pitagorasa, które podstawa programowa każe stosować w sytuacjach praktycznych — w zadaniach o drabinie przy ścianie, przekątnej działki czy linie odciągającej maszt. W arkuszach z 2025 i 2026 r. pojawił się dwojako: w zadaniach zamkniętych prawda–fałsz z rysunkiem (maj 2025 — zadanie 11, maj 2026 — zadanie 10) oraz w zadaniach otwartych, gdzie punkty dostajesz za zapisane rozumowanie, a nie za samą liczbę na końcu (maj 2025 — zadanie 21, maj 2026 — zadanie 20). Typowe pomyłki to trzy rzeczy: mylenie przeciwprostokątnej z przyprostokątną, a przez to dodawanie kwadratów zamiast odejmowania, gubienie dzielenia przez dwa we wzorze na pole i opuszczanie wysokości na inny bok, niż wskazuje zadanie. Pamiętaj też, że nie ma tu kalkulatora ani karty wzorów: twierdzenie Pitagorasa i wzór na pole musisz mieć w głowie, a przekątną kwadratu i wysokość trójkąta równobocznego wyprowadzisz z Pitagorasa. Pierwiastki zwykle zostawiasz w postaci dokładnej.
Po bokach: równoboczny — trzy boki równe i kąty po 60°, równoramienny — dwa równe ramiona i równe kąty przy podstawie, różnoboczny — trzy różne boki. Po kątach: ostrokątny, prostokątny, rozwartokątny. Suma kątów wewnętrznych zawsze wynosi 180°, więc trzeci kąt liczysz odejmowaniem, a w prostokątnym oba kąty ostre dają razem 90°.
Trójkąt zbudujesz tylko wtedy, gdy suma dwóch krótszych boków jest większa od najdłuższego — wystarczy sprawdzić ten jeden warunek. Przy równości, jak 3 + 5 = 8, odcinki ułożą się wzdłuż jednej prostej. Najdłuższy bok leży naprzeciw największego kąta.
P = ½ · a · h, gdzie h to wysokość opuszczona dokładnie na bok a. Każdy trójkąt ma trzy wysokości, więc pole policzysz na trzy sposoby. W prostokątnym przyprostokątne są dla siebie wysokościami, a w rozwartokątnym dwie wysokości wypadają poza trójkąt.
W trójkącie prostokątnym a² + b² = c², gdzie a i b to przyprostokątne, a c — przeciwprostokątna, czyli najdłuższy bok naprzeciw kąta prostego. Szukasz c: dodajesz kwadraty i pierwiastkujesz. Szukasz przyprostokątnej: od kwadratu przeciwprostokątnej odejmujesz kwadrat boku znanego.
Przekątna kwadratu o boku a ma długość a√2, a wysokość trójkąta równobocznego o boku a wynosi a√3/2 — stąd jego pole to a²√3/4. Oba wzory wyprowadzisz z Pitagorasa. Wyniki zostawiaj z pierwiastkiem, na przykład 5√2 cm: bez kalkulatora niczego nie przybliżasz.
Te pomyłki kosztują punkty w zadaniach z tego działu.
We wzorze a² + b² = c² litera c oznacza zawsze przeciwprostokątną, najdłuższy bok naprzeciw kąta prostego. Kwadraty dodajesz tylko wtedy, gdy szukasz właśnie jej; szukając przyprostokątnej — odejmujesz.
Pierwiastek z sumy nie jest sumą pierwiastków. Kolejność jest sztywna: najpierw kwadraty obu boków, potem dodawanie, pierwiastek dopiero z gotowej sumy.
Iloczyn 8 · 5 to pole prostokąta, a trójkąt jest jego połową. Dzielenie przez dwa nie jest opcjonalne, a wysokość musi padać na ten bok, który mnożysz.
Pierwiastek z dwóch należy do przekątnej kwadratu (a√2), a z trzech — do wysokości trójkąta równobocznego (a√3/2). Wysokość dzieli taki trójkąt na dwa prostokątne o przyprostokątnych a/2 i h.
Z odcinków o których długościach można zbudować trójkąt? A. 3 cm, 4 cm, 8 cm B. 2 cm, 5 cm, 7 cm C. 5 cm, 6 cm, 10 cm D. 4 cm, 4 cm, 9 cm
Odpowiedź C: 5 + 6 = 11 > 10. W A i D suma krótszych boków jest za mała (3 + 4 = 7 < 8 oraz 4 + 4 = 8 < 9), a w B wychodzi równość 2 + 5 = 7 — wtedy trójkąt też nie powstaje.
W trójkącie dwa kąty wewnętrzne mają miary 40° i 95°. Oceń prawdziwość zdań. 1. Trzeci kąt tego trójkąta ma miarę 55°. 2. Ten trójkąt jest rozwartokątny.
Zdanie 1. fałsz, zdanie 2. prawda. Trzeci kąt ma 180° − 40° − 95° = 45°, a nie 55°. Trójkąt jest rozwartokątny, bo kąt 95° jest większy od prostego.
Dopasuj do każdego opisu długość szukanego odcinka. A. Przeciwprostokątna trójkąta o przyprostokątnych 9 cm i 12 cm. B. Druga przyprostokątna, gdy jedna ma 5 cm, a przeciwprostokątna 13 cm. C. Przekątna kwadratu o boku 6 cm. Do wyboru: 1. 6√2 cm, 2. 12 cm, 3. 15 cm, 4. 18 cm.
A – 3, bo √(81 + 144) = √225 = 15 cm. B – 2, bo √(169 − 25) = √144 = 12 cm. C – 1, bo przekątna kwadratu to a√2.
Prostokątna działka ma wymiary 60 m na 80 m. Oblicz, o ile metrów krótsza jest droga po przekątnej działki niż wzdłuż dwóch jej boków.
Odpowiedź: o 40 m. Przekątna to przeciwprostokątna trójkąta o przyprostokątnych 60 m i 80 m: √(3 600 + 6 400) = √10 000 = 100 m, a wzdłuż boków jest 60 m + 80 m = 140 m.
W trójkącie równoramiennym ABC ramiona AC i BC mają po 10 cm, a podstawa AB ma 12 cm. Oblicz pole tego trójkąta.
Pole wynosi 48 cm². Wysokość poprowadzona do podstawy dzieli ją na dwa odcinki po 6 cm, więc h = √(10² − 6²) = √64 = 8 cm, a stąd P = ½ · 12 cm · 8 cm = 48 cm².
Podnieś do kwadratu obie przyprostokątne, dodaj wyniki i z sumy wyciągnij pierwiastek. Dla boków 9 cm i 12 cm: 81 + 144 = 225, więc przeciwprostokątna ma √225 = 15 cm. Gdy szukasz przyprostokątnej, kwadraty odejmujesz.
Nie. Komunikat dyrektora CKE o przyborach na 2027 r. wymienia na egzaminie z matematyki długopis (lub pióro) z czarnym tuszem i linijkę; kalkulator prosty dopuszcza tylko dla uczniów z opinią poradni o dyskalkulii, jeśli opinia to wskazuje. Karty wzorów komunikat nie przewiduje — twierdzenie Pitagorasa i wzór na pole trójkąta musisz znać, a przekątną kwadratu i wysokość trójkąta równobocznego umieć wyprowadzić. Rysunki wykonuje się długopisem, nie ołówkiem.
Wysokość trójkąta równobocznego o boku a jest równa a√3/2 — dla boku 8 cm to 8√3/2 = 4√3 cm. Wzór wynika z Pitagorasa: wysokość dzieli taki trójkąt na dwa prostokątne o przyprostokątnych a/2 i h. Nie myl tego z przekątną kwadratu, czyli a√2.
Z takich, w których suma dwóch krótszych jest większa od najdłuższego. Z odcinków 5 cm, 6 cm i 10 cm trójkąt zbudujesz, bo 5 + 6 = 11 > 10. Z odcinków 3 cm, 5 cm i 8 cm już nie, bo 3 + 5 = 8.
Zadania z naszej bazy, sprawdzane natychmiast. Bez logowania.
W tym dziale mamy 48 zadań. Poniżej kilka poleceń — odpowiedzi i wyjaśnienia zobaczysz po rozwiązaniu.
Istnieje trójkąt o bokach długości 5 cm, 6 cm i 12 cm.
F ✓Suma miar kątów wewnętrznych każdego trójkąta jest równa 180°.
F ✓Ten dział omawia rozdział 12 „Proste, kąty, trójkąty; Pitagoras; dowody” (s. 165–190) w Powtórka z matematyki PDF: teoria, przykłady krok po kroku i zadania z kluczem. Zobacz rozdział 12 →
Darmowy quiz z tego działu to 10 zadań, każde od razu ocenione i wyjaśnione. Wystarczy darmowe konto.
Wybierz, które kategorie plików cookies akceptujesz. Zgodę możesz zmienić w dowolnym momencie.
Sesja, bezpieczeństwo, podstawowa funkcjonalność (logowanie, koszyk subskrypcji, zabezpieczenia reCAPTCHA). Bez nich serwis nie działa.
Google Analytics 4 — anonimowe statystyki użycia serwisu. Pomaga nam poprawiać aplikację na podstawie tego, które funkcje są faktycznie używane.
Google Ads — remarketing i pomiar skuteczności reklam. Dzięki temu możemy pokazywać Ci trafniejsze reklamy i finansować rozwój darmowej wersji.
Zapamiętywanie preferencji (motyw ciemny/jasny, wybrane przedmioty, ustawienia sesji).
Dopasowywanie treści do Twoich zainteresowań (rekomendacje pytań, spersonalizowane powiadomienia o powtórkach).