🧮Matematykazadania zamknięte z równaniem do rozwiązania lub wzorem do przekształcenia oraz zadania otwarte rozwiązywane równaniemzadania zamknięte 1 pkt, otwarte 2–3 pkt17 zadań

⚖️Równania z jedną niewiadomą

Równania pierwszego stopnia z jedną niewiadomą i przekształcanie wzorów · wraca w arkuszach regularnie — wprost i jako narzędzie w zadaniach tekstowych

Równanie to zapis dwóch stron, które mają być sobie równe, z jedną liczbą nieznaną. Na egzaminie rozwiązujesz równania, układasz je do treści zadania i wyznaczasz wielkość ze wzoru.

Rozwiązać równanie to znaleźć liczbę, po której podstawieniu w miejsce x obie strony dają tę samą wartość. W arkuszu ósmoklasisty dział pojawia się na dwa sposoby: wprost — gdy trzeba rozwiązać równanie, wskazać, które równanie opisuje podaną sytuację, albo wyznaczyć ze wzoru inną wielkość — i pośrednio, bo równanie bywa najkrótszą drogą do wyniku w zadaniu tekstowym o cenach, wieku czy polach figur. Najwięcej punktów przepada przez drobiazgi: zapomniany znak przy przenoszeniu wyrazu, minus przed nawiasem, mnożenie przez wspólny mianownik tylko jednego składnika. W zadaniach otwartych oceniany jest też zapis rozumowania, więc samo „x = 5” bez ułożonego równania i bez odpowiedzi nie wystarczy. Kalkulatora nie ma, ale liczby są dobrane tak, żeby rachunki dało się wykonać na kartce — a wynik zawsze możesz sprawdzić podstawieniem.

Co trzeba umieć z tego działu

Sprawdzanie, czy liczba jest rozwiązaniem

Podstaw liczbę w miejsce x osobno do lewej i osobno do prawej strony. Wychodzi tyle samo — liczba jest rozwiązaniem; wychodzi różnie — nie jest. To jedyna pewna kontrola wyniku, a w zadaniu zamkniętym z czterema liczbami często najszybsza droga do odpowiedzi.

Równania równoważne i przenoszenie wyrazów

Do obu stron wolno dodać albo odjąć to samo; obie wolno też pomnożyć lub podzielić przez tę samą liczbę różną od zera. Stąd bierze się reguła przenoszenia: wyraz przeniesiony na drugą stronę zmienia znak. Niewiadome zbieraj po jednej stronie, liczby po drugiej.

Nawiasy i ułamki — porządkowanie równania

Najpierw opuść nawiasy: mnożnik mnożysz przez każdy składnik, a minus przed nawiasem zmienia znaki wszystkich wyrazów w środku. Ułamki usuwasz, mnożąc obie strony przez wspólny mianownik, również każdy składnik: w x/2 + x/3 = 5 mnożysz przez 6 i zostaje 3x + 2x = 30, czyli x = 6.

Równania sprzeczne i tożsamościowe

Bywa, że po redukcji niewiadoma znika z obu stron. Zostaje wtedy samo zdanie o liczbach: fałszywe, jak 0 = 4 — równanie jest sprzeczne i nie ma rozwiązania; albo prawdziwe, jak 0 = 0 — jest tożsamościowe i spełnia je każda liczba. To nie pomyłka w rachunkach, tylko poprawny koniec rozwiązania.

Układanie równania do zadania tekstowego

Zapisz, co oznacza x i w jakich jednostkach, a pozostałe wielkości wyraź przez x: o 3 większa to x + 3, trzy razy większa to 3x, o 2 zł droższa to x + 2, o 20% tańsza to 0,8x. Równanie bierze się z warunku, który te wielkości wiąże.

Przekształcanie wzorów

Wyznaczyć ze wzoru daną wielkość to to samo, co rozwiązać równanie, w którym niewiadomą jest litera. Ze wzoru na drogę s = v · t dostajesz t = s : v, a ze wzoru na pole trójkąta P = a · h : 2 najpierw 2P = a · h, potem h = 2P : a.

Najczęstsze błędy

Te pomyłki kosztują punkty w zadaniach z tego działu.

Źle5x − 8 = 2x + 7 → 5x + 2x = 7 + 8 → 7x = 15

Dobrze5x − 8 = 2x + 7 → 5x − 2x = 7 + 8 → 3x = 15, czyli x = 5

Przeniesiony wyraz zmienia znak: 2x było dodawane, więc po lewej je odejmujesz, a −8 staje się +8. Sprawdzenie: 5 · 5 − 8 = 17 i 2 · 5 + 7 = 17.

Źle8 − (3x − 2) = 8 − 3x − 2

Dobrze8 − (3x − 2) = 8 − 3x + 2 = 10 − 3x

Minus przed nawiasem zmienia znak każdego wyrazu w środku, nie tylko pierwszego. Myśl o nim jak o mnożeniu przez (−1): (−1) · 3x = −3x oraz (−1) · (−2) = +2.

Źlex/5 + 3 = 7 → x + 3 = 35

Dobrzex/5 + 3 = 7 → x + 15 = 35, czyli x = 20

Mnożąc obie strony przez wspólny mianownik, mnożysz każdy składnik — także ten bez ułamka. Zgubiona trójka to najczęstszy błąd w tych równaniach. Sprawdzenie: 20 : 5 + 3 = 7.

ŹleZe wzoru P = a · h : 2 wynika, że h = P : (2 · a).

DobrzeZe wzoru P = a · h : 2 wynika, że h = 2P : a.

Żeby pozbyć się dzielenia przez 2, mnożysz obie strony przez 2, a nie dzielisz: najpierw 2P = a · h, potem dzielisz przez a. Na liczbach: dla a = 4 i h = 3 pole wynosi 6, a 2 · 6 : 4 = 3.

Jak arkusz sprawdza ten dział

Zadanie zamknięte

Rozwiązaniem równania 4(x − 3) = x + 9 jest liczba A. 3 B. 5 C. 7 D. 21

Odpowiedź C. Po opuszczeniu nawiasu 4x − 12 = x + 9, po przeniesieniu wyrazów 3x = 21, więc x = 7. Liczba 21 to pułapka dla tych, którzy zapomną podzielić przez 3. Sprawdzenie: 4 · (7 − 3) = 16 i 7 + 9 = 16.

Dobieranie

Dopasuj do każdego równania jego rozwiązanie. A. 2x + 5 = 11 B. 3x − 4 = 14 C. x/4 + 1 = 3 — do wyboru: 1) x = 3, 2) x = 6, 3) x = 8, 4) x = 12

A — 1 (2x = 6, więc x = 3), B — 2 (3x = 18, więc x = 6), C — 3 (x/4 = 2, więc x = 8). Liczba 12 zostaje niewykorzystana — w dobieraniu jedna odpowiedź zwykle jest zbędna.

Prawda/fałsz

Oceń prawdziwość zdań. 1. Liczba 2 jest rozwiązaniem równania 3x + 10 = x + 6. 2. Równanie 2(x + 4) = 2x + 8 spełnia każda liczba.

Zdanie 1. jest fałszywe: dla x = 2 lewa strona daje 16, a prawa 8; rozwiązaniem jest x = −2, bo 2x = −4. Zdanie 2. jest prawdziwe — po opuszczeniu nawiasu obie strony są identyczne, więc równanie jest tożsamościowe.

Zadanie otwarte (2 pkt)

Za 4 jednakowe zeszyty i 3 jednakowe długopisy zapłacono 41 zł. Długopis jest o 2 zł droższy od zeszytu. Oblicz cenę jednego zeszytu. Zapisz obliczenia.

Zeszyt kosztuje 5 zł. Przyjmij x — cena zeszytu w złotych, wtedy długopis kosztuje x + 2, a równanie ma postać 4x + 3(x + 2) = 41, czyli 7x + 6 = 41 i 7x = 35. Sprawdzenie: 4 · 5 + 3 · 7 = 41.

Zadanie otwarte (3 pkt)

Rowerzysta pokonał trasę w trzy dni. Pierwszego dnia przejechał 1/4 trasy, drugiego 1/3 trasy, a trzeciego pozostałe 25 km. Oblicz długość całej trasy. Zapisz obliczenia.

Trasa ma 60 km. Przyjmij x — długość trasy w kilometrach, wtedy x/4 + x/3 + 25 = x. Po pomnożeniu przez 12 masz 3x + 4x + 300 = 12x, czyli 5x = 300. Sprawdzenie: 15 km + 20 km + 25 km = 60 km.

Jak opanować ten dział przed egzaminem

1Trzymaj zawsze tę samą kolejność: opuść nawiasy, usuń ułamki mnożeniem przez wspólny mianownik, przenieś niewiadome na jedną stronę i liczby na drugą, zredukuj, na końcu podziel przez liczbę stojącą przy x. Stały porządek sam eliminuje połowę błędów.
2Każdy wynik sprawdzaj podstawieniem — osobno lewa strona, osobno prawa. Kosztuje kilkanaście sekund, a jako jedyne daje pewność, że nie zgubiłeś po drodze znaku.
3W zadaniu tekstowym zacznij zdaniem „przyjmuję, że x to…”, z jednostką, potem wyraź przez x pozostałe wielkości i dopiero wtedy szukaj warunku na równanie. W zadaniu otwartym te zapisy są punktowane, nawet gdy rachunek się urwie.
4Ćwicz przekształcanie wzorów, które znasz z geometrii: pola prostokąta, trójkąta i trapezu, obwód prostokąta, droga s = v · t. Literę traktuj dokładnie tak jak x.
5Licz bez kalkulatora, na kartce, i nie zaokrąglaj po drodze. Wynik bywa ułamkiem albo liczbą ujemną i tak ma być — zaokrąglony nie sprawdzi się przy podstawieniu.

Najczęstsze pytania

Jak rozwiązać równanie, w którym x jest po obu stronach?

Przenieś wyrazy z niewiadomą na jedną stronę, a liczby na drugą — każdy zmienia przy tym znak. Zredukuj wyrazy podobne i podziel obie strony przez liczbę stojącą przy x. Dla 5x − 8 = 2x + 7 daje to 3x = 15, czyli x = 5. Na końcu podstaw wynik i sprawdź obie strony.

Jak pozbyć się ułamków z równania?

Pomnóż obie strony przez wspólny mianownik, czyli najmniejszą liczbę dzielącą się przez każdy z mianowników, i pamiętaj o każdym składniku — także tym bez ułamka. W równaniu x/2 + x/3 = 5 mnożysz przez 6 i zostaje 3x + 2x = 30, czyli x = 6.

Kiedy równanie nie ma rozwiązania, a kiedy spełnia je każda liczba?

Wtedy, gdy po redukcji niewiadoma znika z obu stron. Jeśli zostaje zdanie fałszywe, jak 0 = 4, równanie jest sprzeczne i nie ma rozwiązania. Jeśli prawdziwe, jak 0 = 0 — jest tożsamościowe i spełnia je każda liczba. W obu przypadkach to gotowa odpowiedź, nie błąd.

Czy na egzaminie ósmoklasisty z matematyki można korzystać z kalkulatora?

Nie — kalkulatora wnieść nie wolno, a arkusz nie zawiera zestawu wzorów, więc wzory na pola i obwody musisz znać z pamięci. Egzamin trwa 125 minut i można na nim zdobyć 30 punktów. Liczby są dobrane tak, żeby rachunki wyszły na kartce, dlatego brzydki wynik to zwykle sygnał zgubionego znaku.