Figury geometryczne na płaszczyźnie — koło i okrąg · temat wracający regularnie — zwykle w zadaniu zamkniętym, czasem w otwartym z figurą złożoną
Dwa wzory — długość okręgu 2πr i pole koła πr² — oraz umiejętność rozpoznania, który z nich jest w zadaniu potrzebny. Dział wraca i w zadaniach zamkniętych, i w otwartych.
Cały dział stoi na dwóch wzorach: długość okręgu L = 2πr (albo L = πd) i pole koła P = πr². Na egzaminie ósmoklasisty nie ma zestawu wzorów ani kalkulatora, więc oba trzeba znać na pamięć. Arkusz sprawdza je na kilka sposobów: podaje promień albo średnicę i pyta o obwód lub pole, podaje gotowy wynik i każe wrócić do promienia, każe porównać dwa koła albo policzyć pole figury złożonej z kwadratu i kawałków koła. W zadaniach praktycznych pojawia się koło, które się toczy — jeden pełny obrót to droga równa długości okręgu. Punkty giną tu najczęściej przez trzy rzeczy: podstawienie średnicy zamiast promienia, pomylenie wzoru na obwód ze wzorem na pole i zgubioną zamianę jednostek. Czwarta pułapka to samo π: raz wynik zostawia się z π, raz polecenie każe przyjąć π ≈ 3,14 albo π ≈ 22/7.
Okrąg to sama linia — punkty jednakowo oddalone od środka. Koło to ta linia razem z wnętrzem. Promień r łączy środek z okręgiem, średnica d = 2r przechodzi przez środek, a cięciwa łączy dwa punkty okręgu. Średnica jest najdłuższą cięciwą, łuk to kawałek okręgu.
Długość okręgu to L = 2πr, a gdy dana jest średnica — L = πd. Obie postacie dają to samo, bo d = 2r. To zarazem obwód koła, więc wynik zapisujesz w centymetrach albo metrach, nigdy w jednostkach kwadratowych.
Pole koła to P = πr². Jeśli zadanie podaje średnicę, najpierw podziel ją przez dwa — podstawienie d zamiast r jest tu pomyłką numer jeden. Do kwadratu podnosisz wyłącznie promień, nigdy π: dla r = 5 cm pole wynosi 25π cm².
Arkusz często podaje wynik i pyta o dane. Z długości okręgu 18π cm: 2πr = 18π, czyli r = 9 cm. Z pola 25π cm²: r² = 25, więc r = √25 = 5 cm. Dopiero potem liczysz to, o co pyta zadanie.
Połowa okręgu ma długość πr, ćwiartka — πr/2. Tak samo dzieli się pole: półkole to πr² : 2, ćwiartka koła πr² : 4. Gdy dany jest kąt środkowy, sprawdź, jaką częścią pełnego kąta 360° on jest: 90° to ¼, a 120° to ⅓.
Rysunek zwykle łączy koło z wielokątem: półkola dobudowane do boków prostokąta, koło wpisane w kwadrat (średnica równa bokowi). Rozbij figurę, policz pola osobno, na końcu dodaj albo odejmij. Jeden pełny obrót koła to droga równa długości okręgu.
Te pomyłki kosztują punkty w zadaniach z tego działu.
We wzorze P = πr² występuje promień, a nie średnica. Gdy zadanie podaje średnicę, pierwszym krokiem jest zawsze r = d : 2, tutaj 10 : 2 = 5 cm.
Długość okręgu liczy się ze wzoru 2πr, a pole koła ze wzoru πr². Kontroluj to jednostką: długość wychodzi w cm, pole w cm².
Z pola wracasz do promienia przez pierwiastek: najpierw dzielisz pole przez π, potem pierwiastkujesz. Przy długości okręgu dzielisz przez 2π.
Połowa dotyczy pola, a nie promienia. Licz najpierw pole całego koła, a dopiero z gotowego wyniku bierz połowę albo ćwiartkę.
Pole koła o średnicy 12 cm jest równe: A. 6π cm² B. 12π cm² C. 36π cm² D. 144π cm²
Odpowiedź C. Najpierw r = 12 : 2 = 6 cm, potem P = π · 6² = 36π cm². Odpowiedź D to podstawienie średnicy zamiast promienia, a B to długość tego okręgu: 2π · 6 = 12π cm.
Koło K₁ ma promień 2 cm, a koło K₂ — promień 6 cm. Oceń prawdziwość zdań. 1. Okrąg ograniczający koło K₂ jest trzy razy dłuższy niż okrąg ograniczający koło K₁. 2. Pole koła K₂ jest trzy razy większe od pola koła K₁.
Pierwsze zdanie prawdziwe, drugie fałszywe. Długość okręgu rośnie tak jak promień: 4π cm i 12π cm. Pole zależy od r², więc rośnie 3² = 9 razy: 4π cm² i 36π cm².
Dopasuj do każdego koła jego pole. A. koło o promieniu 3 cm. B. koło o średnicy 8 cm. C. koło ograniczone okręgiem o długości 20π cm. Pola: 1. 9π cm², 2. 16π cm², 3. 40π cm², 4. 100π cm².
A — 1, B — 2, C — 4. W B r = 8 : 2 = 4 cm, więc pole to 16π cm². W C z równania 2πr = 20π wychodzi r = 10 cm, a stąd 100π cm².
Koło hulajnogi ma średnicę 21 cm. Oblicz, ile metrów przejedzie hulajnoga, gdy to koło wykona 500 pełnych obrotów. Przyjmij π ≈ 22/7.
Wynik: 330 m. Jeden obrót to droga równa długości okręgu: 22/7 · 21 cm = 66 cm. Dalej 500 · 66 cm = 33 000 cm, czyli 330 m — o tę zamianę jednostek najłatwiej się potknąć.
Figura składa się z kwadratu o boku 10 cm i dwóch półkoli zbudowanych na zewnątrz, na przeciwległych bokach tego kwadratu. Oblicz pole figury. Przyjmij π ≈ 3,14.
Wynik: 178,5 cm². Średnica półkola równa się bokowi kwadratu, więc r = 5 cm. Dwa jednakowe półkola dają jedno pełne koło: 3,14 · 5² = 78,5 cm². Z polem kwadratu 100 cm² razem 178,5 cm².
Okrąg to sama linia — punkty oddalone od środka o tyle samo. Koło to ta linia razem z całym wnętrzem. Dlatego mówimy o długości okręgu, a o polu koła; obwód koła to dokładnie długość ograniczającego je okręgu.
Najpierw podziel średnicę przez dwa, bo we wzorze P = πr² stoi promień. Dla średnicy 14 cm promień ma 7 cm, więc pole wynosi π · 7² = 49π cm². Przybliżenie podstawiasz dopiero na końcu: 22/7 · 49 = 154 cm².
Nie. Egzamin ósmoklasisty z matematyki zdaje się bez kalkulatora i bez zestawu wzorów, więc wzory na długość okręgu i pole koła musisz znać na pamięć. Liczby w zadaniach są dobrane tak, żeby dało się je policzyć ręcznie.
Decyduje polecenie. Jeśli nie ma w nim przybliżenia, zostaw wynik z π — 36π cm² to poprawna odpowiedź. Gdy w poleceniu stoi „przyjmij π ≈ 3,14” albo „π ≈ 22/7”, podstaw dokładnie to przybliżenie — wersję 22/7 wtedy, gdy średnica dzieli się przez 7.
Zadania z naszej bazy, sprawdzane natychmiast. Bez logowania.
W tym dziale mamy 17 zadań. Poniżej kilka poleceń — odpowiedzi i wyjaśnienia zobaczysz po rozwiązaniu.
Średnica koła jest dwa razy dłuższa od jego promienia.
F ✓Pole koła o promieniu 4 cm (przy π ≈ 3{,}14) wynosi około 25{,}12 cm².
F ✓Krótka diagnoza pokazuje wynik od razu, z rozbiciem na części arkusza. Bez logowania i bez opłat.
Wybierz, które kategorie plików cookies akceptujesz. Zgodę możesz zmienić w dowolnym momencie.
Sesja, bezpieczeństwo, podstawowa funkcjonalność (logowanie, koszyk subskrypcji, zabezpieczenia reCAPTCHA). Bez nich serwis nie działa.
Google Analytics 4 — anonimowe statystyki użycia serwisu. Pomaga nam poprawiać aplikację na podstawie tego, które funkcje są faktycznie używane.
Google Ads — remarketing i pomiar skuteczności reklam. Dzięki temu możemy pokazywać Ci trafniejsze reklamy i finansować rozwój darmowej wersji.
Zapamiętywanie preferencji (motyw ciemny/jasny, wybrane przedmioty, ustawienia sesji).
Dopasowywanie treści do Twoich zainteresowań (rekomendacje pytań, spersonalizowane powiadomienia o powtórkach).