🧮Matematykakilka zadań zamkniętych (wybór wielokrotny, prawda–fałsz, dobieranie), a w zadaniach otwartych wszędzie tam, gdzie trzeba coś rozdzielić po równo albo znaleźć wspólny moment dwóch cyklizadania zamknięte po 1 pkt, zadania otwarte za 2–3 pkt17 zadań

🔢Liczby naturalne i działania

Liczby naturalne w dziesiątkowym układzie pozycyjnym i działania na nich — podzielność, rozkład na czynniki pierwsze, dzielenie z resztą · wraca w każdym arkuszu — i jako osobne zadania, i jako rachunek ukryty w zadaniach z innych działów

Kolejność działań, podzielność, liczby pierwsze, NWD i NWW, dzielenie z resztą, liczby rzymskie i zaokrąglanie. To fundament całego arkusza: błąd rachunkowy z tego działu zabiera punkt także w zadaniu o polu figury.

Liczby naturalne to pierwszy dział podstawy programowej i zarazem narzędzie, którym liczysz w każdym innym zadaniu. Obejmuje kolejność wykonywania działań, cechy podzielności przez 2, 3, 4, 5, 9, 10 i 25, liczby pierwsze i złożone, rozkład liczby na czynniki pierwsze, największy wspólny dzielnik i najmniejszą wspólną wielokrotność, dzielenie z resztą, zapis liczb znakami rzymskimi oraz szacowanie i zaokrąglanie. Arkusz sprawdza ten materiał najczęściej zadaniami zamkniętymi: obliczeniem wartości wyrażenia, oceną prawda–fałsz o podzielności, dobieraniem liczb rzymskich do dziesiątkowych. Wraca też w zadaniach otwartych — tam, gdzie coś trzeba rozdzielić „po równo i bez reszty” (NWD) albo znaleźć chwilę, w której dwa powtarzające się cykle spotkają się znowu (NWW). Największy kłopot sprawia nie teoria, tylko rachunek: na egzaminie nie ma kalkulatora, więc każde dzielenie pisemne i potęgowanie wykonujesz ręcznie. Drugi kłopot to pośpiech — pomylona kolejność działań kosztuje cały punkt, chociaż sposób rozwiązania był dobry.

Co trzeba umieć z tego działu

Kolejność wykonywania działań

Najpierw nawiasy, potem potęgi i pierwiastki, dalej mnożenie i dzielenie, na końcu dodawanie i odejmowanie. Działania tego samego stopnia liczysz od lewej do prawej — dlatego 48 : 6 · 2 = 8 · 2 = 16, a nie 48 : 12 = 4. Kreska ułamkowa działa jak nawias.

Cechy podzielności i dzielenie z resztą

O podzielności przez 2, 5 i 10 decyduje ostatnia cyfra, przez 4 i 25 — dwie ostatnie (3 128, bo 28 : 4 = 7), a przez 3 i 9 — suma cyfr. Gdy dzielenie nie wychodzi bez reszty, zapisujesz a = b · q + r, gdzie reszta jest mniejsza od dzielnika: 47 = 5 · 9 + 2.

Liczby pierwsze, złożone i rozkład na czynniki

Liczba pierwsza ma dokładnie dwa dzielniki: 1 i samą siebie. Do 30 są to 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 i 29. Liczba 1 nie jest ani pierwsza, ani złożona, a 2 to jedyna parzysta liczba pierwsza. Każdą liczbę złożoną rozkładasz na czynniki pierwsze: 180 = 2² · 3² · 5.

NWD i NWW

Najłatwiej policzyć je z rozkładu na czynniki pierwsze: do NWD bierzesz czynniki wspólne w najniższych potęgach, do NWW wszystkie czynniki w najwyższych. Dla 24 = 2³ · 3 i 36 = 2² · 3² wychodzi NWD = 12 i NWW = 72. Kontrola: NWD · NWW równa się iloczynowi obu liczb.

System rzymski

Znaki: I = 1, V = 5, X = 10, L = 50, C = 100, D = 500, M = 1000. Mniejszy przed większym odejmuje (IV = 4, XL = 40, CM = 900), po większym dodaje. Znaki I, X, C i M powtarzasz najwyżej trzy razy, a V, L i D wcale. Przykład: MCMLXXXIV = 1984.

Szacowanie i zaokrąglanie

Zaokrąglając, patrzysz wyłącznie na pierwszą odrzucaną cyfrę: od 5 w górę, poniżej 5 w dół. Szacowanie służy do kontroli wyniku i do pytań typu „czy wystarczy pieniędzy”: 39 · 21 to około 40 · 20 = 800, a dokładnie 819. Sprawdzając, czy kwoty starczy, ceny zaokrąglaj w górę.

Najczęstsze błędy

Te pomyłki kosztują punkty w zadaniach z tego działu.

Źle20 − 4 · 3 = 48

Dobrze20 − 4 · 3 = 8

Mnożenie wykonujesz przed odejmowaniem: najpierw 4 · 3 = 12, potem 20 − 12 = 8. Liczenie po kolei od lewej strony daje 48 i jest najczęstszym błędem w zadaniach o wartość wyrażenia.

ŹleLiczba 5 118 dzieli się przez 3, więc dzieli się też przez 9.

DobrzeLiczba 5 118 dzieli się przez 3, ale nie dzieli się przez 9.

Suma cyfr wynosi 5 + 1 + 1 + 8 = 15, a 15 dzieli się przez 3, lecz nie przez 9. Podzielność przez 3 nigdy nie gwarantuje podzielności przez 9 — obie cechy sprawdzasz osobno.

Źle2 449 ≈ 2 500 (zaokrąglenie do setek)

Dobrze2 449 ≈ 2 400 (zaokrąglenie do setek)

Zaokrąglając do setek, patrzysz tylko na cyfrę dziesiątek — tutaj 4, czyli w dół. Błąd bierze się z zaokrąglania etapami: 2 449 do dziesiątek daje 2 450, a stamtąd kusi skok w górę. Zaokrąglaj od razu do żądanego rzędu.

ŹleNWW(4, 6) = 24

DobrzeNWW(4, 6) = 12

Iloczyn dwóch liczb jest ich wspólną wielokrotnością, ale rzadko najmniejszą. Wielokrotności 4 to 4, 8, 12…, a 6 to 6, 12, 18… — pierwsza wspólna to 12. Iloczyn byłby dobry tylko dla liczb bez wspólnego dzielnika.

Jak arkusz sprawdza ten dział

Zadanie zamknięte

Wartość wyrażenia 36 : 4 + 5 · (11 − 8) − 2³ jest równa: A. 16 B. 18 C. 24 D. 34

Odpowiedź A, czyli 16. Po kolei: 11 − 8 = 3 i 2³ = 8, potem 36 : 4 = 9 oraz 5 · 3 = 15, na końcu 9 + 15 − 8 = 16. Wynik 18 wychodzi przy potraktowaniu 2³ jak 2 · 3, a 34 — przy liczeniu wszystkiego od lewej do prawej.

Prawda/fałsz

Oceń prawdziwość zdań o liczbie 1 350. 1. Liczba 1 350 jest podzielna przez 9. 2. Liczba 1 350 jest podzielna przez 4.

Pierwsze zdanie prawdziwe, drugie fałszywe. Suma cyfr 1 + 3 + 5 + 0 = 9 dzieli się przez 9, a 1 350 : 9 = 150. O podzielności przez 4 decydują dwie ostatnie cyfry, a 50 przez 4 się nie dzieli — choć przez 25 już tak.

Dobieranie

Dopasuj liczby zapisane znakami rzymskimi do ich zapisu w systemie dziesiątkowym. A. XLIV B. LXIV C. XCIV — do wyboru: 1. 44, 2. 64, 3. 94, 4. 96

A–1, B–2, C–3. Znak mniejszy przed większym odejmuje, a po większym dodaje: XL to 40, ale LX to 60, więc XLIV = 44, a LXIV = 64. Dalej XC to 90, czyli XCIV = 94. Niewykorzystana liczba 96 to XCVI.

Zadanie otwarte (2 pkt)

Ze wstążki o długości 72 cm i wstążki o długości 120 cm trzeba pociąć jak najdłuższe jednakowe kawałki, tak aby nic nie zostało. Oblicz długość jednego kawałka i podaj, ile kawałków powstanie łącznie.

Jeden kawałek ma 24 cm, a kawałków będzie 8. Szukasz NWD: 72 = 2³ · 3² oraz 120 = 2³ · 3 · 5, więc NWD = 2³ · 3 = 24. Dalej 72 : 24 = 3 i 120 : 24 = 5, razem 8 kawałków.

Zadanie otwarte (3 pkt)

Liczba kartek w paczce jest większa od 100 i mniejsza od 130. Gdy układamy je w stosy po 6 kartek, zostają 2 kartki, a gdy w stosy po 8 kartek — również zostają 2 kartki. Oblicz, ile kartek jest w paczce.

W paczce jest 122 kartki. Liczba pomniejszona o 2 dzieli się i przez 6, i przez 8, jest więc wielokrotnością NWW(6, 8) = 24. Kandydaci to 26, 50, 74, 98, 122, 146 — między 100 a 130 mieści się tylko 122. Sprawdzenie: 122 = 6 · 20 + 2.

Jak opanować ten dział przed egzaminem

1Wypisz cechy podzielności na jednej kartce w dwóch grupach: sprawdzane po końcówce liczby (2, 5 i 10 — ostatnia cyfra; 4 i 25 — dwie ostatnie) oraz sprawdzane po sumie cyfr (3 i 9). Trenuj je na przypadkowych liczbach czterocyfrowych, aż odpowiedź będzie natychmiastowa.
2Ćwicz rachunki bez kalkulatora: tabliczka mnożenia do 100, dzielenie pisemne, kwadraty do 15 · 15 = 225 i sześciany 2³ = 8, 3³ = 27, 4³ = 64, 5³ = 125. To one decydują o tempie w całym arkuszu.
3Traktuj rozkład na czynniki pierwsze jak uniwersalne narzędzie: najpierw rozłóż obie liczby, a potem odczytaj z rozkładów NWD (czynniki wspólne w najniższych potęgach) i NWW (wszystkie czynniki w najwyższych). Jedna metoda zamiast dwóch osobnych sposobów.
4Rozpoznawaj sygnały w treści zadania. „Jak najwięcej jednakowych” i „po równo, nic nie zostaje” prowadzą do NWD. „Spotkają się znowu” i „co ile minut” prowadzą do NWW. „Zostają 2” to dzielenie z resztą, czyli zapis a = b · q + r.
5W zadaniach otwartych zapisuj każde działanie i kończ pełną odpowiedzią — punkty dostajesz też za rozumowanie. Zanim policzysz, oszacuj wynik: jeśli końcowa liczba mocno odbiega od szacunku, masz błąd rachunkowy do znalezienia.

Najczęstsze pytania

Czy na egzaminie ósmoklasisty z matematyki można korzystać z kalkulatora?

Nie, kalkulatora na salę wnieść nie wolno. Wszystkie rachunki wykonujesz w pamięci albo pisemnie, w arkuszu. Dlatego zadania układa się tak, żeby liczby były „okrągłe” i dawały się policzyć ręcznie — ale sprawne dzielenie pisemne i tabliczka mnożenia są warunkiem koniecznym.

Jak obliczyć NWD i NWW dwóch liczb?

Rozłóż obie liczby na czynniki pierwsze. Do NWD wybierasz czynniki wspólne w najniższych potęgach, do NWW wszystkie czynniki w najwyższych — dla 24 = 2³ · 3 i 36 = 2² · 3² daje to NWD = 12 i NWW = 72. Wynik sprawdzisz zależnością NWD · NWW = iloczyn obu liczb.

Czy 1 jest liczbą pierwszą?

Nie. Liczba pierwsza ma dokładnie dwa różne dzielniki naturalne — jedynkę i samą siebie — a liczba 1 ma tylko jeden dzielnik. Nie jest też liczbą złożoną, więc stoi poza tym podziałem. Najmniejsza liczba pierwsza to 2 i zarazem jedyna parzysta.

Jak sprawdzić, czy liczba dzieli się przez 4 albo przez 25?

W obu przypadkach patrzysz na dwie ostatnie cyfry. Przez 4 dzieli się liczba, w której tworzą one liczbę podzielną przez 4 lub są to dwa zera: 7 316 tak, 7 314 nie. Przez 25 — gdy kończy się na 00, 25, 50 albo 75. Suma cyfr działa tylko przy 3 i 9.