Sprawdzian z liczb naturalnych z odpowiedziami — 5 pytań bez konta, wynik w skali ocen
Liczby naturalne w dziesiątkowym układzie pozycyjnym i działania na nich — podzielność, rozkład na czynniki pierwsze, dzielenie z resztą · maj 2025: jedno zadanie zamknięte (dzielenie z resztą), maj 2026: dwa (NWD i NWW, podzielność) — wg zasad oceniania CKE
Kolejność działań, podzielność, liczby pierwsze, NWD i NWW, dzielenie z resztą, liczby rzymskie i zaokrąglanie. To fundament całego arkusza: błąd rachunkowy z tego działu zabiera punkt także w zadaniu o polu figury.
Liczby naturalne to pierwszy dział podstawy programowej i zarazem narzędzie, którym liczysz w każdym innym zadaniu. Obejmuje kolejność wykonywania działań, cechy podzielności przez 2, 3, 4, 5, 9, 10 i 100, liczby pierwsze i złożone, rozkład liczby na czynniki pierwsze, największy wspólny dzielnik i najmniejszą wspólną wielokrotność, dzielenie z resztą, zapis liczb znakami rzymskimi (do 3000) oraz szacowanie i zaokrąglanie. W arkuszach CKE z maja 2025 i 2026 r. ten dział sprawdzały zadania zamknięte: dzielenie z resztą (2025, zad. 3), NWD i NWW (2026, zad. 2) oraz parzystość liczb (2026, zad. 6). Informator CKE pokazuje też zadanie z liczbami rzymskimi. Te same umiejętności przydają się w zadaniach otwartych — tam, gdzie coś trzeba rozdzielić „po równo i bez reszty” (NWD) albo znaleźć chwilę, w której dwa powtarzające się cykle spotkają się znowu (NWW). Największy kłopot sprawia nie teoria, tylko rachunek: na egzaminie nie korzystasz z kalkulatora, więc każde dzielenie pisemne i potęgowanie wykonujesz ręcznie. Drugi kłopot to pośpiech — pomylona kolejność działań kosztuje cały punkt, chociaż sposób rozwiązania był dobry.
Najpierw nawiasy, potem potęgi i pierwiastki, dalej mnożenie i dzielenie, na końcu dodawanie i odejmowanie. Działania tego samego stopnia liczysz od lewej do prawej — dlatego 48 : 6 · 2 = 8 · 2 = 16, a nie 48 : 12 = 4. Kreska ułamkowa działa jak nawias.
O podzielności przez 2, 5 i 10 decyduje ostatnia cyfra, przez 4 — dwie ostatnie (3 128, bo 28 : 4 = 7), przez 100 — dwa zera na końcu, a przez 3 i 9 — suma cyfr. Gdy dzielenie nie wychodzi bez reszty, zapisujesz a = b · q + r, gdzie reszta jest mniejsza od dzielnika: 47 = 5 · 9 + 2.
Liczba pierwsza ma dokładnie dwa dzielniki: 1 i samą siebie. Do 30 są to 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 i 29. Liczba 1 nie jest ani pierwsza, ani złożona, a 2 to jedyna parzysta liczba pierwsza. Każdą liczbę złożoną rozkładasz na czynniki pierwsze: 180 = 2² · 3² · 5.
Najłatwiej policzyć je z rozkładu na czynniki pierwsze: do NWD bierzesz czynniki wspólne w najniższych potęgach, do NWW wszystkie czynniki w najwyższych. Dla 24 = 2³ · 3 i 36 = 2² · 3² wychodzi NWD = 12 i NWW = 72. Kontrola: NWD · NWW równa się iloczynowi obu liczb.
Znaki: I = 1, V = 5, X = 10, L = 50, C = 100, D = 500, M = 1000. Mniejszy przed większym odejmuje (IV = 4, XL = 40, CM = 900), po większym dodaje. Znaki I, X, C i M powtarzasz najwyżej trzy razy, a V, L i D wcale. Przykład: MCMLXXXIV = 1984.
Zaokrąglając, patrzysz wyłącznie na pierwszą odrzucaną cyfrę: od 5 w górę, poniżej 5 w dół. Szacowanie służy do kontroli wyniku i do pytań typu „czy wystarczy pieniędzy”: 39 · 21 to około 40 · 20 = 800, a dokładnie 819. Sprawdzając, czy kwoty starczy, ceny zaokrąglaj w górę.
Te pomyłki kosztują punkty w zadaniach z tego działu.
Mnożenie wykonujesz przed odejmowaniem: najpierw 4 · 3 = 12, potem 20 − 12 = 8. Liczenie po kolei od lewej strony daje 48.
Suma cyfr wynosi 5 + 1 + 1 + 8 = 15, a 15 dzieli się przez 3, lecz nie przez 9. Podzielność przez 3 nigdy nie gwarantuje podzielności przez 9 — obie cechy sprawdzasz osobno.
Zaokrąglając do setek, patrzysz tylko na cyfrę dziesiątek — tutaj 4, czyli w dół. Błąd bierze się z zaokrąglania etapami: 2 449 do dziesiątek daje 2 450, a stamtąd kusi skok w górę. Zaokrąglaj od razu do żądanego rzędu.
Iloczyn dwóch liczb jest ich wspólną wielokrotnością, ale rzadko najmniejszą. Wielokrotności 4 to 4, 8, 12…, a 6 to 6, 12, 18… — pierwsza wspólna to 12. Iloczyn byłby dobry tylko dla liczb, których jedynym wspólnym dzielnikiem jest 1.
Wartość wyrażenia 36 : 4 + 5 · (11 − 8) − 2³ jest równa: A. 16 B. 18 C. 24 D. 34
Odpowiedź A, czyli 16. Po kolei: 11 − 8 = 3 i 2³ = 8, potem 36 : 4 = 9 oraz 5 · 3 = 15, na końcu 9 + 15 − 8 = 16. Wynik 18 wychodzi przy potraktowaniu 2³ jak 2 · 3, a 34 — przy liczeniu wszystkiego od lewej do prawej.
Oceń prawdziwość zdań o liczbie 1 350. 1. Liczba 1 350 jest podzielna przez 9. 2. Liczba 1 350 jest podzielna przez 4.
Pierwsze zdanie prawdziwe, drugie fałszywe. Suma cyfr 1 + 3 + 5 + 0 = 9 dzieli się przez 9, a 1 350 : 9 = 150. O podzielności przez 4 decydują dwie ostatnie cyfry, a 50 przez 4 się nie dzieli.
Dopasuj liczby zapisane znakami rzymskimi do ich zapisu w systemie dziesiątkowym. A. XLIV B. LXIV C. XCIV — do wyboru: 1. 44, 2. 64, 3. 94, 4. 96
A–1, B–2, C–3. Znak mniejszy przed większym odejmuje, a po większym dodaje: XL to 40, ale LX to 60, więc XLIV = 44, a LXIV = 64. Dalej XC to 90, czyli XCIV = 94. Niewykorzystana liczba 96 to XCVI.
Ze wstążki o długości 72 cm i wstążki o długości 120 cm trzeba pociąć jak najdłuższe jednakowe kawałki, tak aby nic nie zostało. Oblicz długość jednego kawałka i podaj, ile kawałków powstanie łącznie.
Jeden kawałek ma 24 cm, a kawałków będzie 8. Szukasz NWD: 72 = 2³ · 3² oraz 120 = 2³ · 3 · 5, więc NWD = 2³ · 3 = 24. Dalej 72 : 24 = 3 i 120 : 24 = 5, razem 8 kawałków.
Liczba kartek w paczce jest większa od 100 i mniejsza od 130. Gdy układamy je w stosy po 6 kartek, zostają 2 kartki, a gdy w stosy po 8 kartek — również zostają 2 kartki. Oblicz, ile kartek jest w paczce.
W paczce jest 122 kartki. Liczba pomniejszona o 2 dzieli się i przez 6, i przez 8, jest więc wielokrotnością NWW(6, 8) = 24. Kandydaci to 26, 50, 74, 98, 122, 146 — między 100 a 130 mieści się tylko 122. Sprawdzenie: 122 = 6 · 20 + 2.
Nie. Komunikat dyrektora CKE o przyborach na 2027 r. przewiduje na egzaminie z matematyki długopis lub pióro z czarnym tuszem i linijkę. Kalkulator prosty dopuszcza tylko u uczniów z opinią poradni o dyskalkulii, jeśli opinia wskazuje takie dostosowanie. Pozostali liczą w pamięci albo pisemnie, w arkuszu.
Rozłóż obie liczby na czynniki pierwsze. Do NWD wybierasz czynniki wspólne w najniższych potęgach, do NWW wszystkie czynniki w najwyższych — dla 24 = 2³ · 3 i 36 = 2² · 3² daje to NWD = 12 i NWW = 72. Wynik sprawdzisz zależnością NWD · NWW = iloczyn obu liczb.
Nie. Liczba pierwsza ma dokładnie dwa różne dzielniki naturalne — jedynkę i samą siebie — a liczba 1 ma tylko jeden dzielnik. Nie jest też liczbą złożoną, więc stoi poza tym podziałem. Najmniejsza liczba pierwsza to 2 i zarazem jedyna parzysta.
W obu przypadkach patrzysz na dwie ostatnie cyfry. Przez 4 dzieli się liczba, w której tworzą one liczbę podzielną przez 4 lub są to dwa zera: 7 316 tak, 7 314 nie. Przez 100 — gdy kończy się dwoma zerami. Spośród cech podzielności z podstawy programowej suma cyfr działa tylko przy 3 i 9.
Zadania z naszej bazy, sprawdzane natychmiast. Bez logowania.
W tym dziale mamy 47 zadań. Poniżej kilka poleceń — odpowiedzi i wyjaśnienia zobaczysz po rozwiązaniu.
Liczba 4 126 jest podzielna przez 3.
F ✓Liczba 2 340 jest podzielna przez 9.
F ✓Ten dział omawia rozdział 1 „Liczby naturalne” (s. 7–20) w Powtórka z matematyki PDF: teoria, przykłady krok po kroku i zadania z kluczem. Zobacz rozdział 1 →
Darmowy quiz z tego działu to 10 zadań, każde od razu ocenione i wyjaśnione. Wystarczy darmowe konto.
Wybierz, które kategorie plików cookies akceptujesz. Zgodę możesz zmienić w dowolnym momencie.
Sesja, bezpieczeństwo, podstawowa funkcjonalność (logowanie, koszyk subskrypcji, zabezpieczenia reCAPTCHA). Bez nich serwis nie działa.
Google Analytics 4 — anonimowe statystyki użycia serwisu. Pomaga nam poprawiać aplikację na podstawie tego, które funkcje są faktycznie używane.
Google Ads — remarketing i pomiar skuteczności reklam. Dzięki temu możemy pokazywać Ci trafniejsze reklamy i finansować rozwój darmowej wersji.
Zapamiętywanie preferencji (motyw ciemny/jasny, wybrane przedmioty, ustawienia sesji).
Dopasowywanie treści do Twoich zainteresowań (rekomendacje pytań, spersonalizowane powiadomienia o powtórkach).