🧮Matematykazadania zamknięte (wybór wielokrotny, prawda–fałsz, dobieranie) oraz zadania otwarte z zapisem obliczeń, najczęściej w kontekście cen, rabatów i danych z diagramuzadania zamknięte po 1 pkt, zadania otwarte po 2–3 pkt17 zadań

💯Obliczenia procentowe

Obliczenia procentowe — procent z liczby, liczba z procentu, podwyżki i obniżki, odczyt danych procentowych · dział wracający w niemal każdym arkuszu — samodzielnie i ukryty wewnątrz zadań z innych działów

Procent to setna część całości. Obliczenia procentowe to cztery powtarzalne ruchy: procent z liczby, jakim procentem jest liczba, liczba z procentu i zmiana o dany procent. Arkusz sprawdza je w rabatach, podwyżkach i diagramach.

Obliczenia procentowe to najbardziej „życiowy” dział w arkuszu: rabaty, podwyżki, VAT doliczany do ceny netto, udziały na diagramie. Wraca w dwóch rolach — jako samodzielne zadanie zamknięte i jako część zadania otwartego, w którym trzeba zapisać obliczenia i podać odpowiedź z jednostką. Sprawdzane są cztery ruchy: zamiana procentu na ułamek, procent z liczby, ustalenie, jakim procentem jednej liczby jest druga, oraz odtworzenie całości, gdy znasz tylko jej część procentową. Do tego dochodzą dwie kolejne zmiany ceny, pytanie o punkty procentowe oraz promil, czyli tysięczną część. Dane bywają podane diagramem, który najpierw trzeba odczytać. Najwięcej punktów przepada na dzieleniu zamiast mnożenia i na liczeniu drugiej zmiany od starej kwoty zamiast od nowej. Kalkulatora na egzaminie nie ma, więc opłaca się znać skróty w rodzaju „10% to dzielenie przez 10”.

Co trzeba umieć z tego działu

Procent jako ułamek

p% oznacza p setnych, czyli p/100. Każdy procent zapiszesz ułamkiem zwykłym i dziesiętnym, i odwrotnie: 25% = 25/100 = ¼ = 0,25. Miej w pamięci 10% = 0,1, 20% = 1/5, 50% = ½, 75% = ¾, 12,5% = 1/8. Całość to 100%, więc 150% jest od niej większe.

Procent z liczby

p% z liczby a to a · p/100. Bez kalkulatora liczysz skrótami: 10% to dzielenie przez 10, 1% przez 100, 50% to połowa, 25% to ćwierć. Resztę składasz z kawałków: 15% z 180 zł = 18 zł + 9 zł = 27 zł.

Jakim procentem jednej liczby jest druga

Liczysz ilorazem a/b · 100%, gdzie b jest całością, czyli 100%. Przykład: 12 stanowi 12/80 = 0,15 = 15% liczby 80. Pilnuj kolejności — w mianowniku stoi ta liczba, po której pada słowo „liczby”.

Obliczanie liczby, gdy znasz jej procent

Tu dzielisz, a nie mnożysz: jeśli p% liczby x wynosi a, to x = a : (p/100). Przykład: 36% pewnej liczby to 9, więc liczba wynosi 9 : 0,36 = 25. Pewniejsza droga wiedzie przez 1%: 9 : 36 = 0,25, potem · 100.

Podwyżki, obniżki i dwie kolejne zmiany

Zamiast dwóch kroków używaj mnożnika: +20% to · 1,2, −20% to · 0,8, −25% to · 0,75. Dwie kolejne zmiany mnożysz przez siebie: 0,75 · 0,8 = 0,6, czyli łącznie obniżka o 40%. Tak samo doliczasz VAT do ceny netto.

Punkty procentowe, promile i diagramy

Różnicę dwóch wyników procentowych podaje się w punktach procentowych, nie w procentach. Promil to tysięczna część: 1‰ = 0,1% = 0,001, więc 5‰ z 2 000 zł to 10 zł. Na diagramie kołowym całość to 100%, a ze słupkowego najpierw odczytujesz wartość z osi.

Najczęstsze błędy

Te pomyłki kosztują punkty w zadaniach z tego działu.

ŹleCenę podniesiono o 20%, a potem obniżono o 20%, więc wróciła do poziomu wyjściowego.

Dobrze100 zł · 1,2 = 120 zł, potem 120 zł · 0,8 = 96 zł — cena jest o 4% niższa niż na początku.

Drugi procent liczysz od nowej kwoty, nie od wyjściowej. Podwyżka dotyczy 100 zł, ale obniżka już 120 zł, więc odjęte 24 zł jest większe od dodanych 20 zł.

ŹlePoparcie wzrosło z 20% na 30%, czyli wzrosło o 10%.

DobrzePoparcie wzrosło o 10 punktów procentowych, czyli o 50%.

Odejmowanie dwóch wyników procentowych daje punkty procentowe. Wzrost w procentach liczysz od wartości wyjściowej: 10 : 20 = 0,5, czyli 50%.

Źle20% pewnej liczby wynosi 15, więc ta liczba to 0,2 · 15 = 3.

Dobrze20% pewnej liczby wynosi 15, więc ta liczba to 15 : 0,2 = 75.

Gdy znasz część i jej procent, a szukasz całości — dzielisz. Sprawdzenie jest natychmiastowe: 20% z 75 to 15, a całość musi wyjść większa od części.

Źle2,5% = 0,25, więc 2,5% z 800 zł to 200 zł.

Dobrze2,5% = 2,5 : 100 = 0,025, więc 2,5% z 800 zł to 20 zł.

Zamiana procentu na ułamek dziesiętny to dzielenie przez 100, czyli przesunięcie przecinka o dwa miejsca w lewo — także wtedy, gdy procent jest ułamkiem.

Jak arkusz sprawdza ten dział

Zadanie zamknięte

Kurtka kosztuje 180 zł. Sklep obniżył jej cenę o 15%. Ile kosztuje kurtka po obniżce? A. 27 zł B. 153 zł C. 165 zł D. 207 zł

Odpowiedź B. 10% z 180 zł to 18 zł, a 5% to 9 zł, więc rabat wynosi 27 zł, a cena po obniżce 180 zł − 27 zł = 153 zł. Jednym działaniem: 180 zł · 0,85 = 153 zł.

Prawda/fałsz

W poniedziałek na zajęcia dodatkowe przyszło 80% uczniów klasy, a we wtorek 90%. Oceń prawdziwość zdań. 1. Frekwencja we wtorek była o 10 punktów procentowych wyższa niż w poniedziałek. 2. Frekwencja we wtorek była o 10% wyższa niż w poniedziałek.

Pierwsze zdanie prawda, drugie fałsz. Różnicę dwóch wyników procentowych podajesz w punktach procentowych: 90% − 80% = 10 punktów procentowych. Wzrost w procentach liczysz od wartości wyjściowej: 10 : 80 = 0,125, czyli 12,5%.

Dobieranie

Diagram kołowy pokazuje, jak 200 uczniów szkoły dociera na lekcje: autobusem 45%, rowerem 30%, pieszo 25%. Dobierz do każdego sposobu liczbę uczniów. A. autobusem B. rowerem C. pieszo — 1. 50 uczniów 2. 60 uczniów 3. 90 uczniów

A−3, B−2, C−1. Najkrócej przez 1%: 1% z 200 to 2 uczniów, więc 45 · 2 = 90, 30 · 2 = 60, 25 · 2 = 50. Sprawdź sumy: procenty dają 100%, a uczniowie 200.

Zadanie otwarte (2 pkt)

Rower kosztował 800 zł. W lipcu jego cenę obniżono o 25%, a we wrześniu nową cenę obniżono jeszcze o 20%. Oblicz cenę roweru po obu obniżkach. Zapisz obliczenia.

Odpowiedź: 480 zł. Po pierwszej obniżce 800 zł · 0,75 = 600 zł, po drugiej 600 zł · 0,8 = 480 zł. Drugą obniżkę liczysz od 600 zł, nie od 800 zł: cena spadła o 320 zł, czyli o 40%, a nie o 45%.

Zadanie otwarte (3 pkt)

W szkolnym turnieju szachowym wzięło udział 150 uczniów. Dziewczęta stanowiły 60% uczestników, a pozostali uczestnicy to chłopcy. Nagrodę otrzymało 20% dziewcząt i 25% chłopców. Oblicz, jaki procent wszystkich uczestników turnieju stanowili nagrodzeni. Zapisz obliczenia.

Odpowiedź: 22%. Dziewcząt było 0,6 · 150 = 90, chłopców 150 − 90 = 60. Nagrody dostało 0,2 · 90 = 18 dziewcząt i 0,25 · 60 = 15 chłopców, razem 33 osoby. Na koniec 33 : 150 = 0,22, czyli 22%.

Jak opanować ten dział przed egzaminem

1Wykuj tabelkę procent — ułamek zwykły — ułamek dziesiętny dla 1%, 10%, 12,5%, 20%, 25%, 50% i 75%. Bez kalkulatora to ona decyduje o tempie: widzisz „25%” i od razu liczysz ćwiartkę w pamięci.
2Najpierw ustal, co jest w zadaniu całością, czyli tym 100%, i podkreśl tę liczbę w treści. Większość błędów w procentach to nie pomyłka rachunkowa, tylko procent policzony od niewłaściwej kwoty.
3Zamiast „policz rabat, potem odejmij” używaj mnożnika: −25% to · 0,75, a +8% to · 1,08. Jedno działanie zamiast dwóch to mniej okazji do pomyłki, a dwie kolejne zmiany po prostu mnożysz przez siebie.
4Trenuj rozbijanie procentu na kawałki: 35% = 25% + 10%, 17% = 10% + 5% + 1% + 1%, 150% = 100% + 50%. Na egzaminie liczby są dobrane tak, żeby taka droga zawsze zadziałała.
5W zadaniach otwartych zapisuj każdy krok z jednostką i kończ pełnym zdaniem z odpowiedzią. Punkty przyznaje się także za poprawną metodę, więc czytelne obliczenia ratują zadanie mimo pomyłki w rachunku.

Najczęstsze pytania

Jak obliczyć procent z liczby?

Zamień procent na ułamek dziesiętny, dzieląc przez 100, i pomnóż przez liczbę: 15% z 180 zł to 0,15 · 180 zł = 27 zł. Bez kalkulatora wygodniej rozbić rachunek — 10% z 180 zł to 18 zł, 5% to połowa z tego, czyli 9 zł, razem 27 zł.

Jak obliczyć liczbę, gdy znam tylko jej procent?

Wtedy dzielisz, a nie mnożysz. Jeśli 36% pewnej liczby wynosi 9, to liczba to 9 : 0,36 = 25. Możesz pójść przez 1%: 9 : 36 = 0,25, a potem 0,25 · 100 = 25. Wynik sprawdź, licząc podany procent z otrzymanej liczby.

Czym różni się wzrost o 10% od wzrostu o 10 punktów procentowych?

Punkty procentowe to zwykła różnica dwóch wyników procentowych: z 20% na 30% to wzrost o 10 punktów procentowych. Procent liczysz od wartości wyjściowej, więc ten sam skok to wzrost o 10 : 20 = 50%. Zła nazwa kosztuje punkt.

Czy na egzaminie ósmoklasisty z matematyki można korzystać z kalkulatora?

Nie, kalkulatora na egzaminie nie ma. Egzamin trwa 125 minut, można zdobyć 30 punktów, a wszystkie rachunki wykonujesz w pamięci lub sposobem pisemnym. Liczby w zadaniach procentowych są dobrane tak, żeby dało się je policzyć ręcznie — brzydki wynik zwykle oznacza błąd.