Geometria płaska — proste i odcinki, rodzaje kątów i zależności między nimi · dział wraca regularnie — kąty liczy się nie tylko w zadaniach o kątach, ale też wewnątrz zadań o trójkątach, czworokątach i figurach na rysunku
Rodzaje kątów, kąty przyległe i wierzchołkowe, zależności przy prostych równoległych i sumy kątów w trójkącie oraz czworokącie. To narzędzie, którym rozwiązuje się połowę zadań geometrycznych w arkuszu.
Ten dział jest podstawą całej geometrii w arkuszu: rodzaje kątów, kąty przyległe i wierzchołkowe, zależności między kątami przy dwóch prostych równoległych przeciętych trzecią prostą, suma kątów w trójkącie i czworokącie, proste prostopadłe i równoległe, symetralna odcinka i dwusieczna kąta. Egzamin sprawdza go najczęściej rysunkiem: dostajesz figurę z jedną albo dwiema podanymi miarami i masz wyznaczyć trzecią. Rachunki są krótkie — odejmowanie od 180° albo od 360°, czasem proste równanie — więc brak kalkulatora niczego tu nie utrudnia. Trudność leży gdzie indziej: trzeba rozpoznać na rysunku, która para kątów jest przyległa, która wierzchołkowa, a która odpowiadająca, i pamiętać, że równość kątów odpowiadających i naprzemianległych obowiązuje wyłącznie przy prostych równoległych. W zadaniach otwartych punkty idą nie za samą liczbę na końcu, lecz za zapis: przy każdej kolejnej mierze trzeba napisać, z czego ona wynika.
Kąt ostry ma mniej niż 90°, prosty dokładnie 90°, rozwarty więcej niż 90° i mniej niż 180°, półpełny 180°, a pełny 360°; kąt między 180° a 360° nazywamy wklęsłym. Dwa kąty o sumie 90° to kąty dopełniające.
Kąty przyległe mają wspólny wierzchołek i wspólne ramię, a pozostałe ramiona tworzą prostą — ich suma to 180°. Kąty wierzchołkowe leżą naprzeciw siebie przy przecięciu dwóch prostych i są równe. Na jednym przecięciu masz dwie pary wierzchołkowych i cztery pary przyległych.
Gdy trzecia prosta przecina dwie proste równoległe, kąty odpowiadające są równe, kąty naprzemianległe też, a kąty jednostronne wewnętrzne dają w sumie 180°. Bez równoległości żadna z tych zależności nie obowiązuje — musi ona być podana w treści albo zaznaczona strzałkami na rysunku.
Kąty wewnętrzne trójkąta dają zawsze 180°, a czworokąta 360°, bo przekątna dzieli czworokąt na dwa trójkąty. Stąd wnioski: trójkąt ma najwyżej jeden kąt prosty albo rozwarty, w równobocznym każdy ma 60°, a kąt zewnętrzny równa się sumie dwóch kątów wewnętrznych nieprzyległych do niego.
Proste prostopadłe przecinają się pod kątem prostym (zapis k ⊥ l), a równoległe nie mają punktu wspólnego (k ∥ l) i wszędzie dzieli je ta sama odległość. Odległość punktu od prostej mierzysz po odcinku prostopadłym — każdy inny odcinek łączący punkt z prostą jest dłuższy.
Symetralna odcinka to prosta prostopadła do niego i przechodząca przez jego środek; każdy jej punkt jest tak samo oddalony od obu końców. Dwusieczna dzieli kąt na dwa kąty równe, a jej punkty są jednakowo oddalone od obu ramion kąta.
Te pomyłki kosztują punkty w zadaniach z tego działu.
Równe są kąty wierzchołkowe, czyli leżące naprzeciw siebie przy przecięciu dwóch prostych. Kąty przyległe leżą obok siebie i uzupełniają się do kąta półpełnego, czyli do 180°.
Suma 180° dotyczy trójkąta, a w czworokącie kąty wewnętrzne dają 360°. Wynik ujemny to sygnał, że wzór został wzięty od innej figury.
Przy prostych równoległych kąty odpowiadające i naprzemianległe są równe. Do 180° uzupełniają się dopiero kąty jednostronne wewnętrzne i każda para kątów przyległych, więc najpierw sprawdź, po której stronie prostej przecinającej leży drugi kąt.
Ramiona kąta to półproste, więc są nieskończone — na rysunku skraca się je tylko po to, żeby zmieściły się na kartce. O mierze decyduje wyłącznie rozwarcie ramion.
Kąty α i β są przyległe, a kąt α jest trzy razy większy od kąta β. Miara kąta α jest równa: A. 45° B. 60° C. 120° D. 135°
Odpowiedź D. Z warunku β + 3β = 180° mamy 4β = 180°, czyli β = 45° i α = 3 · 45° = 135°. Sprawdzenie: 135° + 45° = 180°.
Proste k i l są równoległe, przecina je prosta m. Jeden z kątów prostej m z prostą k ma miarę 113°. Oceń prawdziwość zdań. 1. Kąt odpowiadający mu przy prostej l ma 113°. 2. Kąt przyległy do kąta 113° ma 77°.
Pierwsze zdanie prawdziwe, drugie fałszywe. Kąty odpowiadające przy prostych równoległych są równe, natomiast kąt przyległy ma 180° − 113° = 67°, a nie 77°.
Kąt α ma miarę 72°. Dopasuj do każdego opisu właściwą miarę. A. kąt przyległy do kąta α, B. kąt wierzchołkowy z kątem α, C. kąt dopełniający kąt α. Miary: 1. 18° 2. 72° 3. 108° 4. 128°
A – 3, B – 2, C – 1. Kąt przyległy to 180° − 72° = 108°, wierzchołkowy jest równy (72°), a dopełniający to 90° − 72° = 18°. Miara 128° nie pasuje nigdzie.
Miary kątów wewnętrznych pewnego czworokąta pozostają w stosunku 1 : 2 : 3 : 4. Oblicz miarę największego kąta tego czworokąta.
Wynik: 144°. Oznacz najmniejszy kąt przez x: x + 2x + 3x + 4x = 360°, czyli 10x = 360° i x = 36°. Kąty mają 36°, 72°, 108° i 144°.
W trójkącie ABC kąt zewnętrzny przy wierzchołku A ma miarę 130°, a kąt wewnętrzny przy wierzchołku B ma miarę 85°. Oblicz miarę kąta wewnętrznego przy wierzchołku C.
Wynik: 45°. Kąt zewnętrzny i wewnętrzny przy tym samym wierzchołku są przyległe, więc kąt A ma 180° − 130° = 50°, a stąd kąt C ma 180° − 50° − 85° = 45°. Sprawdzenie: 85° + 45° = 130°.
W każdym trójkącie kąty wewnętrzne dają w sumie 180°, a w każdym czworokącie 360°. Łatwo to zapamiętać: dowolny czworokąt dzieli się przekątną na dwa trójkąty, więc 2 · 180° = 360°. Tych dwóch liczb nie ma w żadnej karcie wzorów — trzeba je znać.
Kąty przyległe leżą obok siebie: mają wspólny wierzchołek i wspólne ramię, a pozostałe ramiona tworzą prostą, więc ich suma to zawsze 180°. Kąty wierzchołkowe leżą naprzeciw siebie przy przecięciu dwóch prostych i są równe. Jeśli kąt ma 112°, to przyległy ma 68°, a wierzchołkowy 112°.
Gdy dwie proste równoległe przecina trzecia prosta, równe są kąty odpowiadające oraz kąty naprzemianległe. Kąty jednostronne wewnętrzne równe nie są — uzupełniają się do 180°. Wszystko to działa wyłącznie przy prostych równoległych, więc zawsze najpierw sprawdź to założenie.
Nie — na egzaminie ósmoklasisty z matematyki kalkulatora nie ma i przy kątach wcale go nie potrzebujesz. Rachunki sprowadzają się do odejmowania od 180° lub 360° i prostych równań. Nie ma też zestawu wzorów, więc miary kąta prostego, półpełnego i pełnego oraz sumy kątów trzeba pamiętać.
Zadania z naszej bazy, sprawdzane natychmiast. Bez logowania.
Krótka diagnoza pokazuje wynik od razu, z rozbiciem na części arkusza. Bez logowania i bez opłat.
Wybierz, które kategorie plików cookies akceptujesz. Zgodę możesz zmienić w dowolnym momencie.
Sesja, bezpieczeństwo, podstawowa funkcjonalność (logowanie, koszyk subskrypcji, zabezpieczenia reCAPTCHA). Bez nich serwis nie działa.
Google Analytics 4 — anonimowe statystyki użycia serwisu. Pomaga nam poprawiać aplikację na podstawie tego, które funkcje są faktycznie używane.
Google Ads — remarketing i pomiar skuteczności reklam. Dzięki temu możemy pokazywać Ci trafniejsze reklamy i finansować rozwój darmowej wersji.
Zapamiętywanie preferencji (motyw ciemny/jasny, wybrane przedmioty, ustawienia sesji).
Dopasowywanie treści do Twoich zainteresowań (rekomendacje pytań, spersonalizowane powiadomienia o powtórkach).