Liczby całkowite i liczby wymierne — oś liczbowa, wartość bezwzględna i działania · jeden z najczęściej wracających działów — znaki i ułamki pracują też w tle zadań z innych działów, więc błąd tutaj psuje wynik w całym arkuszu
Liczby ujemne, ułamki i wszystko, co da się zapisać jako ułamek zwykły — razem z regułami znaków w działaniach. Na egzaminie wraca w rachunkach z kilkoma minusami, w porównywaniu liczb i w zadaniach o temperaturze czy stanie konta.
Ten dział zaczyna się tam, gdzie liczby przestają kończyć się na zerze. Do liczb naturalnych dochodzą liczby ujemne, a razem z ułamkami tworzą zbiór liczb wymiernych — wszystkich liczb, które da się zapisać jako ułamek zwykły. Arkusz sprawdza to w dwóch odsłonach. Pierwsza to czysty rachunek: wartość wyrażenia z kilkoma minusami, porównanie liczb ujemnych, wartość bezwzględna, liczba przeciwna albo odwrotna, zamiana ułamka na rozwinięcie dziesiętne. Druga to kontekst z życia: temperatura poniżej zera, głębokość pod wodą, saldo konta — tam trzeba najpierw zdecydować, co jest dodatnie, a co ujemne, i dopiero potem liczyć. Najwięcej punktów przepada na dwóch drobiazgach: na odejmowaniu liczby ujemnej, czyli na „minusie przed minusem”, i na porównywaniu, gdzie −5 jest mniejsze od −2, choć piątka wygląda na większą. Pamiętaj też, że liczysz bez kalkulatora — każdy rachunek musisz umieć zapisać na kartce.
Liczby całkowite to liczby naturalne, liczby do nich przeciwne i zero: … −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3 … Liczba wymierna to każda liczba zapisywalna jako ułamek zwykły p/q, gdzie q ≠ 0. Wymierne są więc wszystkie całkowite (5 = 5/1), ułamki zwykłe i ułamki dziesiętne skończone (−1,5 = −3/2).
Większa jest zawsze liczba leżąca bardziej na prawo, więc −5 < −2, choć piątka wygląda na większą. Każda liczba ujemna jest mniejsza od zera i od każdej dodatniej. Odległość dwóch punktów liczysz jako |a − b|: od −4 do 1,5 jest 5,5. Liczbę odpowiadającą środkowi odcinka dostajesz z (a + b) : 2.
Wartość bezwzględna to odległość liczby od zera, więc nigdy nie jest ujemna: |−7| = 7, |3,5| = 3,5, |0| = 0. Liczby przeciwne różnią się tylko znakiem i sumują się do zera: przeciwna do −2,5 jest 2,5. Liczby odwrotne mnożą się do jedynki, więc odwrotna do −5/4 jest −4/5, czyli −0,8.
Odjąć liczbę to dodać liczbę do niej przeciwną: −5 − (−8) = −5 + 8 = 3. Dwa minusy obok siebie dają plus. Gdy dodajesz liczby o różnych znakach, odejmij ich wartości bezwzględne i weź znak tej dalszej od zera: −9 + 4 = −5, bo 9 − 4 = 5, a dziewiątka była ujemna.
Iloczyn i iloraz dwóch liczb o tych samych znakach jest dodatni, o różnych — ujemny: (−3) · (−4) = 12, a (−36) : 4 = −9. W dłuższym iloczynie liczy się parzystość minusów: (−2) · (−3) · (−4) = −24. Kolejność działań zostaje ta sama: nawiasy, mnożenie i dzielenie, na końcu dodawanie i odejmowanie.
Ułamek zwykły zamieniasz na dziesiętny, dzieląc licznik przez mianownik. Jeśli w mianowniku ułamka nieskracalnego siedzą wyłącznie dwójki i piątki, rozwinięcie jest skończone: 7/8 = 0,875, a 11/40 = 0,275. W przeciwnym razie jest nieskończone okresowe, a okres zapisujesz w nawiasie: 1/3 = 0,(3), 5/6 = 0,8(3).
Te pomyłki kosztują punkty w zadaniach z tego działu.
Odjęcie liczby ujemnej to dodanie liczby do niej przeciwnej, więc minus przed minusem zmienia się w plus. Dopiero po tej zamianie liczysz: −5 + 8 daje 3, a nie −13.
Wśród liczb ujemnych mniejsza jest ta, która leży dalej od zera. Same cyfry nie rozstrzygają: 2,5 jest większe od 1,8, ale −2,5 leży bardziej na lewo, więc jest liczbą mniejszą.
Liczby przeciwne zmieniają tylko znak i sumują się do zera, a liczby odwrotne mnożą się do jedynki. Sprawdzenie zajmuje chwilę: −0,25 + 0,25 = 0 oraz (−0,25) · (−4) = 1.
Zmiana temperatury to odległość obu wartości na osi, czyli 5 − (−7) = 12. Gdy jedna wartość jest ujemna, a druga dodatnia, dodajesz odległości od zera — nie odejmujesz samych cyfr.
Wartość wyrażenia −18 : (−3) − 4 · (−2) + (−5) jest równa: A. −19 B. −9 C. 9 D. 19
Odpowiedź C — wynik to 9. Najpierw dzielenie i mnożenie: −18 : (−3) = 6 oraz 4 · (−2) = −8. Potem 6 − (−8) + (−5) = 6 + 8 − 5 = 9. Odpowiedź B wybierają ci, którzy liczą od lewej, ignorując pierwszeństwo mnożenia.
Oceń prawdziwość zdań. 1. Spośród liczb −3,2 i −3,15 większa jest liczba −3,2. 2. Liczba odwrotna do −1,25 jest równa −0,8.
Pierwsze zdanie jest fałszywe, drugie prawdziwe. Większa jest −3,15, bo leży bliżej zera. W drugim zdaniu −1,25 = −5/4, więc odwrotnością jest −4/5, czyli −0,8; sprawdzenie: (−1,25) · (−0,8) = 1.
Dopasuj każdy ułamek do jego rozwinięcia dziesiętnego. Ułamki: A. 3/8, B. 2/3, C. 7/20. Rozwinięcia: 1. 0,35 2. 0,375 3. 0,(6)
A — 2, B — 3, C — 1. Ułamki 3/8 i 7/20 mają rozwinięcia skończone, bo w mianownikach są tylko dwójki i piątki (8 = 2 · 2 · 2, 20 = 2 · 2 · 5). Mianownik 3 daje rozwinięcie okresowe: 2/3 = 0,(6).
Na osi liczbowej zaznaczono punkty A = −3,6 oraz B = 2,4. Oblicz długość odcinka AB i podaj liczbę, która odpowiada środkowi tego odcinka. Zapisz obliczenia.
Długość AB = 2,4 − (−3,6) = 6, a środkowi odcinka odpowiada liczba (−3,6 + 2,4) : 2 = −1,2 : 2 = −0,6. Kluczowy krok to odejmowanie liczby ujemnej. Sprawdzenie: od −3,6 do −0,6 jest 3 i od −0,6 do 2,4 też 3.
Na koncie Oli było 120 zł. Najpierw wydała 3/4 tej kwoty na bilety, a potem z konta pobrano 45 zł za abonament. Jaki jest stan konta Oli po tych dwóch operacjach? Zapisz obliczenia.
Stan konta wynosi −15 zł, czyli Ola ma 15 zł debetu. Kolejno: 120 · 3/4 = 90 zł na bilety, więc zostaje 120 − 90 = 30 zł. Po pobraniu abonamentu 30 − 45 = −15. Punkt przepada, gdy w odpowiedzi zostanie 15 zł — minus jest jej częścią.
Ani jedną, ani drugą — zero jest jedyną liczbą bez znaku. Należy do liczb całkowitych i wymiernych, jego wartość bezwzględna wynosi 0, a przeciwną do zera liczbą jest samo zero. Zero nie ma za to liczby odwrotnej — żadna liczba pomnożona przez zero nie da jedynki.
Wyobraź je sobie na osi liczbowej: większa jest ta, która leży bardziej na prawo, czyli bliżej zera. Dlatego −2 jest większe od −5, a −3,15 większe od −3,2. Najprostszy sposób bez rysowania: przy dwóch liczbach ujemnych mniejsza jest ta o większej wartości bezwzględnej.
Liczba przeciwna ma ten sam zapis, tylko inny znak, i razem z wyjściową daje w sumie zero: przeciwna do −2,5 jest 2,5. Liczba odwrotna to odwrócony ułamek, a w iloczynie daje jeden: odwrotna do −5/4 jest −4/5, czyli −0,8. Odwrotna zachowuje znak liczby wyjściowej.
Nie. Na egzaminie z matematyki nie wolno wnieść kalkulatora ani żadnego urządzenia elektronicznego, a na tym egzaminie nie dostajesz też karty wzorów. Wszystkie działania na liczbach ujemnych i ułamkach wykonujesz pisemnie, więc ćwicz rachunki na kartce.
Zadania z naszej bazy, sprawdzane natychmiast. Bez logowania.
Krótka diagnoza pokazuje wynik od razu, z rozbiciem na części arkusza. Bez logowania i bez opłat.
Wybierz, które kategorie plików cookies akceptujesz. Zgodę możesz zmienić w dowolnym momencie.
Sesja, bezpieczeństwo, podstawowa funkcjonalność (logowanie, koszyk subskrypcji, zabezpieczenia reCAPTCHA). Bez nich serwis nie działa.
Google Analytics 4 — anonimowe statystyki użycia serwisu. Pomaga nam poprawiać aplikację na podstawie tego, które funkcje są faktycznie używane.
Google Ads — remarketing i pomiar skuteczności reklam. Dzięki temu możemy pokazywać Ci trafniejsze reklamy i finansować rozwój darmowej wersji.
Zapamiętywanie preferencji (motyw ciemny/jasny, wybrane przedmioty, ustawienia sesji).
Dopasowywanie treści do Twoich zainteresowań (rekomendacje pytań, spersonalizowane powiadomienia o powtórkach).