🧮Matematykazadania zamknięte (wybór wielokrotny, prawda–fałsz, dobieranie) oraz zadania otwarte z zapisem obliczeńzadania zamknięte po 1 pkt, zadania otwarte 2–3 pkt17 zadań

📈Proporcjonalność prosta

Proporcjonalność prosta — stosunek, proporcja i podział proporcjonalny · temat regularnie obecny w arkuszach, zwykle ukryty w zadaniu o przepisie, zakupach albo podziale w podanym stosunku

Wielkości wprost proporcjonalne rosną w tym samym tempie: ile razy więcej jednej, tyle razy więcej drugiej. Na egzaminie wracają jako przepisy kulinarne, ceny za kilogram i podział całości w podanym stosunku.

Dział łączy trzy rzeczy, które w arkuszu chodzą razem: wielkości wprost proporcjonalne, proporcję jako równość dwóch ilorazów i podział w podanym stosunku. Zadania rzadko mówią wprost „wielkości są wprost proporcjonalne” — częściej dostajesz przepis na ciasto, cenę za kilogram albo sznurek rozcięty w stosunku 3 : 5 i sam musisz rozpoznać, że iloraz jest stały. Zadania zamknięte sprawdzają jeden szybki przelicznik, otwarte wymagają zapisu obliczeń: bez widocznej proporcji albo współczynnika sam wynik nie dostanie kompletu punktów. Największy kłopot sprawiają dwie rzeczy. Pierwsza to mylenie stosunku z ułamkiem całości — z zapisu 2 : 3 uczniowie robią ⅔ zamiast dwóch części z pięciu. Druga to ustawianie proporcji w przypadkowej kolejności, przez co mnożenie na krzyż daje wynik bez sensu. Liczysz bez kalkulatora, więc skracaj ułamki, zanim zaczniesz mnożyć.

Co trzeba umieć z tego działu

Kiedy wielkości są wprost proporcjonalne

Dwie wielkości są wprost proporcjonalne, gdy iloraz y : x wychodzi taki sam dla każdej pary — ile razy rośnie jedna, tyle razy rośnie druga. Tak zachowują się masa i cena towaru, liczba porcji i ilość składnika, bok kwadratu i jego obwód.

Współczynnik proporcjonalności

To stała liczba k ze wzoru y = k · x, czyli „ile przypada na jedno”. Gdy 4 kg jabłek kosztują 14 zł, to k = 14 : 4 = 3,50 zł za kilogram, więc 10 kg kosztuje 35 zł. Sprowadzanie do jednostki ratuje zawsze.

Proporcja i jej własność

Proporcja to równość dwóch ilorazów: a/b = c/d. Wyrazy skrajne to a i d, środkowe to b i c, a ich iloczyny są równe: a · d = b · c. Z proporcji 6/15 = x/40 dostajesz 15 · x = 240, czyli x = 16.

Tabela wartości

Proporcjonalność sprawdzasz w tabelce, dzieląc każdą wartość y przez odpowiadającą jej wartość x — wszystkie ilorazy muszą wyjść takie same. Brakujące pole uzupełniasz, mnożąc x przez współczynnik k albo sprawdzając, ile razy jedna kolumna jest większa od drugiej.

Stosunek i podział proporcjonalny

Zapis 3 : 5 znaczy, że całość dzieli się na 3 + 5 = 8 równych części. Oznacz jedną część literą x, zapisz części jako 3x i 5x i ułóż równanie 3x + 5x = całość. Dla 72 cm wychodzi x = 9, czyli 27 cm i 45 cm.

Zadania tekstowe rozwiązywane proporcją

Ustaw dane w dwóch wierszach — w pierwszym jedna wielkość, w drugim druga — i dopiero z nich zapisz proporcję. Kolejność po obu stronach musi być ta sama. Na koniec sprawdź sens wyniku: więcej składnika to większy wynik.

Najczęstsze błędy

Te pomyłki kosztują punkty w zadaniach z tego działu.

Źle200 zł dzielimy w stosunku 2 : 3, więc pierwsza część to ⅔ z 200 zł, czyli około 133 zł.

Dobrze200 zł dzielimy w stosunku 2 : 3, więc części to 80 zł i 120 zł.

Stosunek mówi o liczbie równych części, nie o ułamku całości. Części jest 2 + 3 = 5, jedna część to 200 : 5 = 40 zł, a kwoty to 80 zł i 120 zł. Ułamkami całości są dopiero ⅖ i ⅗.

ŹleZ proporcji 3/x = 12/20 wynika, że 3 · 12 = 20 · x, czyli x = 1,8.

DobrzeZ proporcji 3/x = 12/20 wynika, że 3 · 20 = 12 · x, czyli x = 5.

Iloczyn wyrazów skrajnych równa się iloczynowi środkowych. W zapisie a/b = c/d skrajne są a i d, tutaj 3 i 20, a środkowe b i c, tutaj x i 12. Mnożysz na krzyż, nigdy wzdłuż jednej strony.

ŹleZa 4 kwiaty zapłacono 10 zł, więc za 6 kwiatów zapłacimy 12 zł.

DobrzeZa 4 kwiaty zapłacono 10 zł, więc za 6 kwiatów zapłacimy 15 zł.

Przy proporcjonalności nie dodajesz tej samej liczby, tylko mnożysz przez stały współczynnik. Jeden kwiat kosztuje 10 : 4 = 2,50 zł, więc sześć kosztuje 15 zł. Liczba kwiatów urosła 1,5 raza i cena też.

ŹleDla x: 2, 4, 6 i y: 5, 10, 14 wielkości są wprost proporcjonalne, bo y rośnie razem z x.

DobrzeDla x: 2, 4, 6 i y: 5, 10, 14 wielkości nie są wprost proporcjonalne.

Liczysz ilorazy: 5 : 2 = 2,5 i 10 : 4 = 2,5, ale 14 : 6 ≈ 2,33. Wystarczy jedna para psująca regułę, żeby proporcjonalności nie było — w ostatniej kolumnie musiałoby stać 15.

Jak arkusz sprawdza ten dział

Zadanie zamknięte

Wielkości x i y są wprost proporcjonalne. Gdy x = 9, to y = 6. Ile wynosi y, gdy x = 15? A. 9 B. 10 C. 12 D. 18

Odpowiedź B, czyli 10. Współczynnik to k = 6 : 9 = ⅔, więc y = 15 · ⅔ = 10. Tak samo wyjdzie z proporcji 9/6 = 15/y, bo 9 · y = 90.

Dobieranie

Wielkości x i y są wprost proporcjonalne, a dla x = 4 jest y = 10. Dobierz do każdej wartości x odpowiadającą jej wartość y. A. x = 6 B. x = 10 C. x = 14. Wartości y: 1. 15 2. 20 3. 25 4. 35

A–1, B–3, C–4. Współczynnik to k = 10 : 4 = 2,5, więc 6 · 2,5 = 15, 10 · 2,5 = 25 i 14 · 2,5 = 35. Wartość 20 kusi do dodawania zamiast mnożenia.

Prawda/fałsz

Zaprawę przygotowano z cementu i piasku zmieszanych w stosunku 1 : 4. Otrzymano 25 kg zaprawy. Oceń prawdziwość zdań. 1. Piasku użyto 20 kg. 2. Cement stanowi 25% masy zaprawy.

Zdanie 1 — prawda, zdanie 2 — fałsz. Części jest 1 + 4 = 5, więc jedna część to 25 : 5 = 5 kg: cementu 5 kg, piasku 20 kg. Cement to ⅕ masy, czyli 20%, nie 25%.

Zadanie otwarte (2 pkt)

Według przepisu na 15 pierogów potrzeba 250 g mąki. Ilość mąki jest wprost proporcjonalna do liczby pierogów. Oblicz, ile gramów mąki potrzeba na 24 pierogi. Zapisz obliczenia.

Wynik: 400 g. Z proporcji 15/250 = 24/x wychodzi 15 · x = 6000, czyli x = 400. Bez kalkulatora skróć najpierw 24/15 do 8/5 i policz 250 · 8 : 5.

Zadanie otwarte (3 pkt)

Trzy klasy zbierały nakrętki: 8a zebrała 18 kg, 8b — 24 kg, a 8c — 30 kg. Nagrodę podzielono proporcjonalnie do masy zebranych nakrętek. Klasa 8c otrzymała o 96 zł więcej niż klasa 8a. Oblicz, ile złotych wynosiła cała nagroda. Zapisz obliczenia.

Wynik: 576 zł. Różnicy mas 30 − 18 = 12 kg odpowiada 96 zł, więc na 1 kg przypada 8 zł. Razem zebrano 72 kg, czyli nagroda to 72 · 8 = 576 zł. Kontrola: 144 + 192 + 240 = 576.

Jak opanować ten dział przed egzaminem

1Zanim cokolwiek policzysz, sprawdź, czy wielkości naprawdę są wprost proporcjonalne: podziel y przez x w dwóch parach. Różne ilorazy znaczą, że proporcja tu nie zadziała.
2Wyćwicz sprowadzanie do jednostki: ile kosztuje 1 kg, ile mleka przypada na 1 naleśnik. To najkrótsza droga w zadaniach zamkniętych i mieści się w jednym działaniu.
3Przy podziale w stosunku od razu licz sumę części: 2 : 3 to pięć części, 1 : 2 : 3 to sześć. Podziel całość przez tę sumę, dopiero potem mnóż — ten nawyk likwiduje najczęstszy błąd w dziale.
4W zadaniach otwartych zapisuj proporcję albo współczynnik, nawet gdy wynik widzisz w głowie. Punkty idą za metodę, obliczenia i jednostkę przy wyniku, a nie za samą liczbę.
5Ćwicz rachunki bez kalkulatora: skracaj przed mnożeniem, bo 250 · 24 : 15 policzysz jako 250 · 8 : 5, i trzymaj się ułamków zwykłych zamiast długich liczb dziesiętnych.

Najczęstsze pytania

Jak poznać, że wielkości są wprost proporcjonalne?

Podziel każdą wartość jednej wielkości przez odpowiadającą jej wartość drugiej. Jeśli za każdym razem wyjdzie ta sama liczba, wielkości są wprost proporcjonalne, a ta liczba to współczynnik proporcjonalności. Samo „rośnie razem” nie wystarczy — twój wiek rośnie razem z wiekiem brata, a proporcjonalne one nie są.

Jak rozwiązać proporcję z niewiadomą?

Zapisz ją w postaci a/b = c/d i skorzystaj z własności proporcji: iloczyn wyrazów skrajnych równa się iloczynowi środkowych. Z proporcji 6/15 = x/40 dostajesz 15 · x = 240, czyli x = 16. Na koniec wstaw wynik z powrotem i sprawdź, czy oba ilorazy są równe.

Co znaczy, że coś jest podzielone w stosunku 2 : 3?

Że całość rozpada się na 2 + 3 = 5 równych części: jedna osoba dostaje dwie, druga trzy. To nie to samo co ⅔ całości. Jeśli do podziału jest 200 zł, jedna część to 40 zł, więc kwoty wynoszą 80 zł i 120 zł.

Czy na egzaminie ósmoklasisty można korzystać z kalkulatora?

Nie. Cały egzamin z matematyki — 125 minut i 30 punktów — piszesz bez kalkulatora, więc każde mnożenie i dzielenie wykonujesz w pamięci albo sposobem pisemnym. Liczby w zadaniach o proporcjach są dobrane tak, żeby dało się skracać, więc ćwicz skracanie ułamków i dzielenie pisemne.