🧮Matematykazadania zamknięte wszystkich trzech typów oraz jako krok rachunkowy w zadaniach otwartych z geometrii, gdy z pola wyznaczasz bok kwadratu, a z objętości krawędź sześcianuzadania zamknięte 1 pkt, otwarte 2–3 pkt17 zadań

√Pierwiastki

Q: Jak wyłączyć czynnik przed znak pierwiastka?

Rozłóż liczbę spod pierwiastka na iloczyn, w którym jeden czynnik jest kwadratem, i wyprowadź go przed znak: √50 = √(25 · 2) = 5√2, bo 25 to 5². Wybieraj największy możliwy kwadrat — w √72 szukasz 36, a nie 4, inaczej zapis wciąż da się uprościć.

Q: Między jakimi liczbami całkowitymi leży √30?

Między 5 a 6. Wystarczy znaleźć najbliższe kwadraty: 5² = 25 i 6² = 36, a skoro 25 < 30 < 36, to również 5 < √30 < 6. Ta sama metoda działa na liczby z czynnikiem przed pierwiastkiem — najpierw wnieś go pod znak: 3√5 = √45.

Q: Czy na egzaminie ósmoklasisty z matematyki można mieć kalkulator?

Nie, kalkulatora używać nie wolno — jedynym przyborem poza długopisem z czarnym tuszem jest linijka. Nie ma też zestawu wzorów. Dlatego kwadraty do 20 i sześciany do 10 trzeba znać na pamięć, a rachunki w arkuszu są dobrane tak, żeby dało się je wykonać na brudnopisie.

Q: Jak obliczyć pierwiastek z ułamka?

Pierwiastkujesz osobno licznik i osobno mianownik: √(9/25) = 3/5, a ∛(8/27) = 2/3. Przy ułamku dziesiętnym rozpoznajesz kwadrat od razu — √0,49 = 0,7 — albo zamieniasz go na ułamek zwykły. Ułamek mieszany najpierw zapisz jako jeden ułamek zwykły.

Pierwiastek kwadratowy i sześcienny — obliczanie, szacowanie i działania na pierwiastkach · wraca regularnie; rzadko jako osobne duże zadanie, częściej jako jeden rachunek wewnątrz zadania z geometrii albo z liczb

Pierwiastek kwadratowy i sześcienny, działania na pierwiastkach i szacowanie ich wartości. Na egzaminie pojawia się i wprost, i ukryty w geometrii — wszędzie tam, gdzie z pola wyznaczasz bok, a z objętości krawędź.

Pierwiastki to działanie odwrotne do potęgowania: √a odpowiada na pytanie, jaką liczbę nieujemną trzeba podnieść do kwadratu, żeby dostać a, a ∛a — jaką liczbę podnieść do trzeciej potęgi. Arkusz sprawdza ten dział dwutorowo. Raz wprost: policz wartość wyrażenia, wskaż, między jakimi liczbami całkowitymi leży dana liczba, zapisz √72 z wyłączonym czynnikiem. Drugi raz po cichu, w zadaniach otwartych z geometrii — działka ma pole 196 m², więc jej bok to √196, czyli 14 m. Na egzaminie nie ma kalkulatora ani zestawu wzorów, więc kwadraty liczb do 20 i sześciany do 10 musisz mieć w pamięci. Najwięcej punktów uczniowie tracą na trzech rzeczach: dodawaniu pierwiastków tak, jakby wolno je było łączyć pod jednym znakiem, niepełnym wyłączeniu czynnika oraz myleniu pierwiastka sześciennego z kwadratowym.

Co trzeba umieć z tego działu

Pierwiastek kwadratowy i sześcienny

√a to liczba nieujemna, która podniesiona do kwadratu daje a, a ∛a to liczba, która podniesiona do trzeciej potęgi daje a. Stąd √81 = 9, bo 9² = 81, oraz ∛27 = 3, bo 3³ = 27. Pierwiastkowanie odwraca potęgowanie, więc wynik zawsze sprawdzisz z powrotem.

Kwadraty i sześciany do zapamiętania

Bez kalkulatora pracuje pamięć. Kwadraty od 1² = 1 do 20² = 400, a z nich te najmniej oczywiste: 13² = 169, 14² = 196, 15² = 225, 17² = 289, 19² = 361. Sześciany wystarczą do 10³: 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000.

Mnożenie i dzielenie pierwiastków

Pierwiastki tego samego stopnia łączysz pod jednym znakiem: √a · √b = √(a · b), √a : √b = √(a : b). Stąd √2 · √18 = √36 = 6 i √200 : √2 = √100 = 10. Z sześciennymi tak samo: ∛2 · ∛32 = ∛64 = 4. Dodawania reguła nie obejmuje.

Wyłączanie czynnika przed pierwiastek

Rozbij liczbę na iloczyn, w którym jeden czynnik jest kwadratem, i wyprowadź go przed znak: √50 = √(25 · 2) = 5√2, √72 = √(36 · 2) = 6√2, √300 = 10√3. Zawsze bierz największy kwadrat dzielący liczbę. Przy pierwiastku sześciennym szukasz sześcianu: ∛54 = 3∛2.

Włączanie czynnika pod pierwiastek

Działanie odwrotne: liczbę stojącą przed pierwiastkiem kwadratowym wnosisz pod znak podniesioną do kwadratu, czyli 3√5 = √(9 · 5) = √45, a 2√7 = √28. Pod pierwiastek sześcienny czynnik wchodzi w sześcianie: 2∛3 = ∛24. Przydaje się, gdy trzeba dwie takie liczby porównać.

Szacowanie i pierwiastek z ułamka

Żeby ocenić, gdzie leży √30, znajdź najbliższe kwadraty: 25 < 30 < 36, więc 5 < √30 < 6. Ułamek pierwiastkujesz osobno w liczniku i w mianowniku: √(9/25) = 3/5, ∛(8/27) = 2/3. Liczbę dziesiętną rozpoznajesz po kwadracie: √0,49 = 0,7.

Najczęstsze błędy

Te pomyłki kosztują punkty w zadaniach z tego działu.

Źle√9 + √16 = √25 = 5

Dobrze√9 + √16 = 3 + 4 = 7

Sumy spod pierwiastka nie da się rozbić na dwa osobne pierwiastki. Pod jednym znakiem wolno łączyć wyłącznie mnożenie i dzielenie, na przykład √2 · √8 = √16 = 4.

Źle√72 = 2√18

Dobrze√72 = 6√2

Zapis 2√18 nie jest błędny, tylko niedokończony: √18 = 3√2, więc 2√18 = 6√2. Od razu bierz największy kwadrat dzielący liczbę — tutaj 36, a nie 4.

Źle3√5 = √15

Dobrze3√5 = √45

Czynnik wchodzi pod pierwiastek podniesiony do kwadratu, bo 3 = √9, więc 3√5 = √9 · √5 = √45. Szybka kontrola: 3√5 to około 6,7, a √15 mniej niż 4.

Źle∛64 = 8

Dobrze∛64 = 4

Ósemka to √64, bo 8² = 64. Pierwiastek sześcienny pyta o inną liczbę: 4 · 4 · 4 = 64, więc ∛64 = 4. Zanim policzysz, sprawdź, czy nad znakiem stoi trójka.

Jak arkusz sprawdza ten dział

Zadanie zamknięte

Wartość wyrażenia √196 − ∛125 jest równa: A. 9 B. 11 C. 12 D. 19

Odpowiedź A. Liczysz osobno: √196 = 14, bo 14² = 196, oraz ∛125 = 5, bo 5³ = 125, więc 14 − 5 = 9. Wynik 19 dostaje ten, kto zamiast odjąć — doda.

Prawda/fałsz

Oceń prawdziwość zdań. 1. √(49/64) = 7/8. 2. √20 + √5 = 5.

Pierwsze zdanie prawdziwe: pierwiastkujesz licznik i mianownik osobno, a 7² = 49 i 8² = 64. Drugie fałszywe — sumy pierwiastków nie da się złączyć: √20 = 2√5, więc √20 + √5 = 3√5, czyli około 6,7.

Dobieranie

Dopasuj do każdej liczby parę kolejnych liczb całkowitych, między którymi ona leży. A. √30 B. 3√5 C. √150. Do wyboru: 1. między 5 a 6 2. między 6 a 7 3. między 12 a 13 4. między 11 a 12.

A łączy się z 1, B z 2, a C z 3. Dla √30 najbliższe kwadraty to 25 i 36, a dla √150 — 144 i 169. Liczbę 3√5 najpierw wnieś pod pierwiastek: 3√5 = √45, czyli między 36 a 49.

Zadanie otwarte (2 pkt)

Liczbę √72 + √8 można zapisać w postaci a√2, gdzie a jest liczbą naturalną. Wyznacz a i zapisz obliczenia.

a = 8. Wyłączasz czynnik z obu składników: √72 = 6√2 oraz √8 = 2√2. Oba mają już ten sam pierwiastek, więc dodajesz same liczby przed nim: 6√2 + 2√2 = 8√2.

Zadanie otwarte (3 pkt)

Pudełko ma kształt sześcianu o objętości 512 cm³. Oblicz, ile centymetrów kwadratowych tektury potrzeba na sześć ścian tego pudełka. Grubość tektury pomiń.

384 cm². Krawędź to ∛512 = 8 cm, bo 8³ = 512. Jedna ściana ma pole 8² = 64 cm², a ścian jest sześć, więc 6 · 64 = 384 cm². Nie zatrzymuj się na krawędzi i dopisz jednostkę.

Jak opanować ten dział przed egzaminem

1Wypisz na kartce kwadraty od 1² do 20² i sześciany od 1³ do 10³, powieś ją nad biurkiem i przez tydzień odpytuj się z losowej kolejności. To trzydzieści liczb, a bez nich każde zadanie robi się zgadywanką.
2Przy każdym pierwiastku zadawaj jedno pytanie: jaki największy kwadrat dzieli tę liczbę? Przećwicz na gotowym zestawie √8, √12, √18, √20, √32, √45, √50, √72, √75, √128 — powinny wyjść kolejno 2√2, 2√3, 3√2, 2√5, 4√2, 3√5, 5√2, 6√2, 5√3, 8√2.
3Każdy wynik sprawdzaj działaniem odwrotnym. Wyszło 6√2? Podnieś do kwadratu: 36 · 2 = 72, zgadza się z liczbą spod pierwiastka. Ta sekunda kontroli wyłapuje prawie wszystkie pomyłki przy wyłączaniu czynnika.
4Ucz się szacowania bez liczenia dokładnej wartości — w arkuszu chodzi o to, między którymi liczbami całkowitymi liczba leży. Spróbuj od ręki: √130 między 11 a 12, √200 między 14 a 15, 2√10 między 6 a 7.
5W zadaniach otwartych z geometrii zapisuj drogę, nie sam wynik: z pola kwadratu wyciągasz bok pierwiastkiem, z objętości sześcianu krawędź pierwiastkiem sześciennym. Punkty idą za rozumowanie, więc każdy krok ma być widoczny, razem z jednostką.

Najczęstsze pytania

Jak wyłączyć czynnik przed znak pierwiastka?

Rozłóż liczbę spod pierwiastka na iloczyn, w którym jeden czynnik jest kwadratem, i wyprowadź go przed znak: √50 = √(25 · 2) = 5√2, bo 25 to 5². Wybieraj największy możliwy kwadrat — w √72 szukasz 36, a nie 4, inaczej zapis wciąż da się uprościć.

Między jakimi liczbami całkowitymi leży √30?