Sprawdzian z pierwiastków z odpowiedziami — 5 pytań bez konta, wynik w skali ocen
Pierwiastek kwadratowy i sześcienny — obliczanie, szacowanie i działania na pierwiastkach · maj 2026: zad. 3 (wartości pierwiastków) i zad. 20 (wyłączanie czynnika przed pierwiastek przy obwodzie figury); maj 2025: pierwiastki w wyrażeniu z zad. 7 — wg arkuszy i zasad oceniania CKE
Pierwiastek kwadratowy i sześcienny, działania na pierwiastkach i szacowanie ich wartości. Przydają się wprost i w geometrii — wszędzie tam, gdzie z pola wyznaczasz bok, a z objętości krawędź.
Pierwiastki to działanie odwrotne do potęgowania: √a odpowiada na pytanie, jaką liczbę nieujemną trzeba podnieść do kwadratu, żeby dostać a, a ∛a — jaką liczbę podnieść do trzeciej potęgi. W arkuszu CKE z maja 2026 r. zadanie zamknięte 3 sprawdzało obliczanie pierwiastków z kwadratów i sześcianów, a w zadaniu otwartym 20 (3 pkt) trzeba było obliczyć obwód figury z twierdzenia Pitagorasa i wyłączyć czynnik przed pierwiastek. Podstawa programowa wymaga też szacowania — wskazania, między jakimi liczbami całkowitymi leży dana liczba — oraz mnożenia i dzielenia pierwiastków tego samego stopnia. W geometrii pierwiastek to często krok rachunku: działka ma pole 196 m², więc jej bok to √196, czyli 14 m. Na egzaminie nie korzystasz z kalkulatora ani karty wzorów, więc kwadraty liczb do 20 i sześciany do 10 warto mieć w pamięci. Uważaj zwłaszcza na trzy rzeczy: dodawanie pierwiastków tak, jakby wolno je było łączyć pod jednym znakiem, niepełne wyłączenie czynnika oraz mylenie pierwiastka sześciennego z kwadratowym.
√a to liczba nieujemna, która podniesiona do kwadratu daje a, a ∛a to liczba, która podniesiona do trzeciej potęgi daje a. Stąd √81 = 9, bo 9² = 81, oraz ∛27 = 3, bo 3³ = 27. Pierwiastkowanie odwraca potęgowanie, więc wynik zawsze sprawdzisz z powrotem.
Bez kalkulatora pracuje pamięć. Kwadraty od 1² = 1 do 20² = 400, a z nich te najmniej oczywiste: 13² = 169, 14² = 196, 15² = 225, 17² = 289, 19² = 361. Sześciany wystarczą do 10³: 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000.
Pierwiastki tego samego stopnia łączysz pod jednym znakiem: √a · √b = √(a · b), √a : √b = √(a : b). Stąd √2 · √18 = √36 = 6 i √200 : √2 = √100 = 10. Z sześciennymi tak samo: ∛2 · ∛32 = ∛64 = 4. Dodawania reguła nie obejmuje.
Rozbij liczbę na iloczyn, w którym jeden czynnik jest kwadratem, i wyprowadź go przed znak: √50 = √(25 · 2) = 5√2, √72 = √(36 · 2) = 6√2, √300 = 10√3. Zawsze bierz największy kwadrat dzielący liczbę. Przy pierwiastku sześciennym szukasz sześcianu: ∛54 = 3∛2.
Działanie odwrotne: liczbę stojącą przed pierwiastkiem kwadratowym wnosisz pod znak podniesioną do kwadratu, czyli 3√5 = √(9 · 5) = √45, a 2√7 = √28. Pod pierwiastek sześcienny czynnik wchodzi w sześcianie: 2∛3 = ∛24. Przydaje się, gdy trzeba dwie takie liczby porównać.
Żeby ocenić, gdzie leży √30, znajdź najbliższe kwadraty: 25 < 30 < 36, więc 5 < √30 < 6. Ułamek pierwiastkujesz osobno w liczniku i w mianowniku: √(9/25) = 3/5, ∛(8/27) = 2/3. Liczbę dziesiętną rozpoznajesz po kwadracie: √0,49 = 0,7.
Te pomyłki kosztują punkty w zadaniach z tego działu.
Sumy spod pierwiastka nie da się rozbić na dwa osobne pierwiastki. Pod jednym znakiem wolno łączyć wyłącznie mnożenie i dzielenie, na przykład √2 · √8 = √16 = 4.
Zapis 2√18 nie jest błędny, tylko niedokończony: √18 = 3√2, więc 2√18 = 6√2. Od razu bierz największy kwadrat dzielący liczbę — tutaj 36, a nie 4.
Czynnik wchodzi pod pierwiastek podniesiony do kwadratu, bo 3 = √9, więc 3√5 = √9 · √5 = √45. Szybka kontrola: 3√5 to około 6,7, a √15 mniej niż 4.
Ósemka to √64, bo 8² = 64. Pierwiastek sześcienny pyta o inną liczbę: 4 · 4 · 4 = 64, więc ∛64 = 4. Zanim policzysz, sprawdź, czy nad znakiem stoi trójka.
Wartość wyrażenia √196 − ∛125 jest równa: A. 9 B. 11 C. 12 D. 19
Odpowiedź A. Liczysz osobno: √196 = 14, bo 14² = 196, oraz ∛125 = 5, bo 5³ = 125, więc 14 − 5 = 9. Wynik 19 wychodzi, gdy zamiast odjąć — dodasz.
Oceń prawdziwość zdań. 1. √(49/64) = 7/8. 2. √20 + √5 = 5.
Pierwsze zdanie prawdziwe: pierwiastkujesz licznik i mianownik osobno, a 7² = 49 i 8² = 64. Drugie fałszywe — sumy pierwiastków nie da się złączyć: √20 = 2√5, więc √20 + √5 = 3√5, czyli około 6,7.
Dopasuj do każdej liczby parę kolejnych liczb całkowitych, między którymi ona leży. A. √30 B. 3√5 C. √150. Do wyboru: 1. między 5 a 6 2. między 6 a 7 3. między 12 a 13 4. między 11 a 12.
A łączy się z 1, B z 2, a C z 3. Dla √30 najbliższe kwadraty to 25 i 36, a dla √150 — 144 i 169. Liczbę 3√5 najpierw wnieś pod pierwiastek: 3√5 = √45, czyli między 36 a 49.
Liczbę √72 + √8 można zapisać w postaci a√2, gdzie a jest liczbą naturalną. Wyznacz a i zapisz obliczenia.
a = 8. Wyłączasz czynnik z obu składników: √72 = 6√2 oraz √8 = 2√2. Oba mają już ten sam pierwiastek, więc dodajesz same liczby przed nim: 6√2 + 2√2 = 8√2.
Pudełko ma kształt sześcianu o objętości 512 cm³. Oblicz, ile centymetrów kwadratowych tektury potrzeba na sześć ścian tego pudełka. Grubość tektury pomiń.
384 cm². Krawędź to ∛512 = 8 cm, bo 8³ = 512. Jedna ściana ma pole 8² = 64 cm², a ścian jest sześć, więc 6 · 64 = 384 cm². Nie zatrzymuj się na krawędzi i dopisz jednostkę.
Rozłóż liczbę spod pierwiastka na iloczyn, w którym jeden czynnik jest kwadratem, i wyprowadź go przed znak: √50 = √(25 · 2) = 5√2, bo 25 to 5². Wybieraj największy możliwy kwadrat — w √72 szukasz 36, a nie 4, inaczej zapis wciąż da się uprościć.
Między 5 a 6. Wystarczy znaleźć najbliższe kwadraty: 5² = 25 i 6² = 36, a skoro 25 < 30 < 36, to również 5 < √30 < 6. Ta sama metoda działa na liczby z czynnikiem przed pierwiastkiem — najpierw wnieś go pod znak: 3√5 = √45.
Nie. Komunikat dyrektora CKE o przyborach na 2027 r. przewiduje na egzaminie z matematyki długopis lub pióro z czarnym tuszem i linijkę; karty wzorów w nim nie ma. Kalkulator prosty dopuszcza tylko u uczniów z opinią poradni o dyskalkulii, jeśli opinia wskazuje takie dostosowanie. Dlatego kwadraty do 20 i sześciany do 10 warto znać na pamięć.
Pierwiastkujesz osobno licznik i osobno mianownik: √(9/25) = 3/5, a ∛(8/27) = 2/3. Przy ułamku dziesiętnym rozpoznajesz kwadrat od razu — √0,49 = 0,7 — albo zamieniasz go na ułamek zwykły. Ułamek mieszany najpierw zapisz jako jeden ułamek zwykły.
Zadania z naszej bazy, sprawdzane natychmiast. Bez logowania.
W tym dziale mamy 47 zadań. Poniżej kilka poleceń — odpowiedzi i wyjaśnienia zobaczysz po rozwiązaniu.
Luka: b1
Liczba √16+9 jest równa 5.
F ✓Liczba √30 jest większa od 5 i mniejsza od 6.
F ✓Ten dział omawia rozdział 4 „Pierwiastki” (s. 49–60) w Powtórka z matematyki PDF: teoria, przykłady krok po kroku i zadania z kluczem. Zobacz rozdział 4 →
Darmowy quiz z tego działu to 10 zadań, każde od razu ocenione i wyjaśnione. Wystarczy darmowe konto.
Wybierz, które kategorie plików cookies akceptujesz. Zgodę możesz zmienić w dowolnym momencie.
Sesja, bezpieczeństwo, podstawowa funkcjonalność (logowanie, koszyk subskrypcji, zabezpieczenia reCAPTCHA). Bez nich serwis nie działa.
Google Analytics 4 — anonimowe statystyki użycia serwisu. Pomaga nam poprawiać aplikację na podstawie tego, które funkcje są faktycznie używane.
Google Ads — remarketing i pomiar skuteczności reklam. Dzięki temu możemy pokazywać Ci trafniejsze reklamy i finansować rozwój darmowej wersji.
Zapamiętywanie preferencji (motyw ciemny/jasny, wybrane przedmioty, ustawienia sesji).
Dopasowywanie treści do Twoich zainteresowań (rekomendacje pytań, spersonalizowane powiadomienia o powtórkach).