🧮Matematykanajczęściej zadania zamknięte — wybór wielokrotny, prawda–fałsz, dobieranie; w zadaniach otwartych przy notacji wykładniczej i poleceniach „uzasadnij”zadania zamknięte po 1 pkt, otwarte po 2–3 pkt17 zadań

🔺Potęgi

Potęgi o wykładnikach naturalnych i notacja wykładnicza · dział wraca w arkuszach regularnie, zwykle w zadaniach zamkniętych; potęgi pracują też pośrednio — w polach figur, pierwiastkach i zapisie dużych liczb

Potęga to skrócony zapis mnożenia tej samej liczby przez siebie. Na egzaminie wraca w działaniach na potęgach i w zapisie liczb bardzo dużych oraz bardzo małych — a liczyć musisz bez kalkulatora.

Dział obejmuje potęgi o wykładnikach naturalnych i reguły, które trzeba znać na pamięć: mnożenie i dzielenie potęg o tej samej podstawie, mnożenie i dzielenie potęg o tym samym wykładniku oraz potęgowanie potęgi. Dochodzi do tego potęga o wykładniku zerowym, potęgi dziesiątki i notacja wykładnicza, czyli zapis liczb takich jak 150 000 000 albo 0,0003. Arkusz sprawdza ten dział najczęściej zadaniami zamkniętymi: masz wskazać wartość wyrażenia, ocenić prawdziwość zdań albo dopasować wyrażenia do wyników. W zadaniach otwartych potęgi pojawiają się przy obliczeniach na dużych liczbach i w poleceniach „uzasadnij”, gdzie punktuje się zapis rozumowania, a nie sam wynik. Na egzaminie ósmoklasisty z matematyki nie ma zestawu wzorów ani kalkulatora — reguły działań i podstawowe wartości musisz mieć w głowie. Najwięcej punktów przepada przez dwie pomyłki: zmienianie podstawy przy mnożeniu potęg oraz mylenie potęgi potęgi ze zwykłym iloczynem potęg.

Co trzeba umieć z tego działu

Potęga, podstawa, wykładnik

Potęga to skrócony zapis mnożenia jednakowych czynników: 2⁵ to 2 · 2 · 2 · 2 · 2, czyli 32. Na dole stoi podstawa, u góry wykładnik. Każda liczba różna od zera podniesiona do potęgi zerowej daje 1 — stąd 7⁰ = 1.

Mnożenie i dzielenie potęg o tej samej podstawie

Mnożąc potęgi o tej samej podstawie, wykładniki dodajesz, a dzieląc — odejmujesz; podstawa zostaje bez zmian. Stąd 3⁴ · 3² = 3⁶ oraz 5⁸ : 5⁵ = 5³, czyli 125. Reguła działa wyłącznie przy identycznych podstawach — przy różnych najpierw trzeba je ujednolicić.

Ten sam wykładnik, różne podstawy

Gdy wykładniki są takie same, wolno pomnożyć albo podzielić same podstawy: 2³ · 5³ = 10³, czyli 1000, a 6⁴ : 2⁴ = 3⁴, czyli 81. To skrót, który w zadaniach zamkniętych oszczędza mnóstwo rachunków — zwłaszcza gdy w wyniku powstaje potęga dziesiątki.

Potęga potęgi i wspólna podstawa

Potęgując potęgę, wykładniki mnożysz: (2³)⁴ = 2¹². Ta sama reguła pozwala sprowadzić całe wyrażenie do jednej podstawy, bo 9 = 3², a 27 = 3³. Dzięki temu 9⁴ · 27² zamienia się na 3⁸ · 3⁶, czyli 3¹⁴.

Potęgi dziesiątki i notacja wykładnicza

Potęga dziesiątki to jedynka z tyloma zerami, ile wynosi wykładnik: 10⁵ = 100 000. Notacja wykładnicza to zapis liczby jako iloczynu liczby co najmniej 1 i mniejszej od 10 oraz potęgi dziesiątki: 150 000 000 to 1,5 · 10⁸, a 0,0003 to 3 · 10⁻⁴.

Porównywanie potęg

Potęgi porównujesz po sprowadzeniu ich do wspólnej podstawy albo wspólnego wykładnika. Skoro 4⁷ = (2²)⁷ = 2¹⁴, to 4⁷ jest mniejsze od 2¹⁵. Gdy liczby są małe, najszybciej policzyć obie wartości: 3⁴ = 81 jest większe od 4³ = 64.

Najczęstsze błędy

Te pomyłki kosztują punkty w zadaniach z tego działu.

Źle2³ · 2⁵ = 4⁸

Dobrze2³ · 2⁵ = 2⁸

Mnożąc potęgi o tej samej podstawie, dodajesz wykładniki, a podstawę przepisujesz bez zmian. Podstaw nie wolno mnożyć: 2⁸ to 256, a 4⁸ to 65 536 — to dwie zupełnie różne liczby.

Źle(2³)² = 2⁵

Dobrze(2³)² = 2⁶

Przy potęgowaniu potęgi wykładniki mnożysz, a nie dodajesz — dodajesz je tylko przy mnożeniu potęg, czyli w 2³ · 2² = 2⁵. Różnica jest spora: 2⁶ to 64, a 2⁵ to 32.

Źle5⁰ = 0

Dobrze5⁰ = 1

Każda liczba różna od zera podniesiona do potęgi zerowej daje 1. Widać to z dzielenia: 5³ : 5³ to 125 : 125, czyli 1, a z reguły odejmowania wykładników wychodzi 5⁰.

Źle150 000 000 = 15 · 10⁷

Dobrze150 000 000 = 1,5 · 10⁸

Wartość się zgadza, ale to jeszcze nie jest notacja wykładnicza: pierwszy czynnik musi być co najmniej 1 i mniejszy od 10. Przesuwasz przecinek o jedno miejsce w lewo, więc wykładnik dziesiątki rośnie o 1.

Jak arkusz sprawdza ten dział

Zadanie zamknięte

Liczba 3⁷ · 3² : 3⁵ jest równa: A. 3² B. 3⁴ C. 3¹⁴ D. 9⁴

Odpowiedź B. Działania wykonujesz po kolei na samych wykładnikach: 7 + 2 = 9, potem 9 − 5 = 4, więc wynik to 3⁴, czyli 81. Podstawa przez cały rachunek zostaje trójką.

Prawda/fałsz

Oceń prawdziwość zdań. 1. (4²)³ = 4⁶. 2. 2⁴ · 2³ = 4⁷. 3. 10⁰ = 1.

Zdanie 1 — prawda, bo przy potęgowaniu potęgi wykładniki mnożymy: 2 · 3 = 6. Zdanie 2 — fałsz, podstawa się nie zmienia, więc 2⁴ · 2³ = 2⁷, czyli 128. Zdanie 3 — prawda.

Dobieranie

Dopasuj każde wyrażenie do jego wartości. Wyrażenia: A. 2³ · 2², B. (2²)³, C. 4² · 5⁰. Wartości: 1. 16, 2. 32, 3. 64.

A — 2, B — 3, C — 1. Wyrażenie A to 2⁵, czyli 32; B to 2⁶, czyli 64; C to 16 · 1, czyli 16, bo 5⁰ = 1.

Zadanie otwarte (2 pkt)

Światło przebywa w próżni około 3 · 10⁵ km w ciągu jednej sekundy. Oblicz, jaką drogę pokonuje w ciągu jednej minuty. Wynik zapisz w notacji wykładniczej.

Wynik: 1,8 · 10⁷ km. Minuta ma 60 sekund, więc 3 · 10⁵ · 60 = 180 · 10⁵. To jeszcze nie notacja wykładnicza, bo 180 jest większe od 10 — zapisujesz 180 jako 1,8 · 10² i po dodaniu wykładników wychodzi 1,8 · 10⁷ km, czyli 18 000 000 km.

Zadanie otwarte (3 pkt)

Uzasadnij, że liczba 2¹⁰ + 2¹¹ + 2¹² jest podzielna przez 7.

Przed nawias wyłączasz najmniejszą z potęg: 2¹⁰ + 2¹¹ + 2¹² = 2¹⁰ · (1 + 2 + 4) = 2¹⁰ · 7. Iloczyn, w którym jednym z czynników jest 7, jest podzielny przez 7. Dla sprawdzenia: 1024 + 2048 + 4096 = 7168, a 7168 : 7 = 1024.

Jak opanować ten dział przed egzaminem

1Wypisz reguły działań na jednej kartce i powtarzaj je na głos: przy tej samej podstawie wykładniki dodajesz albo odejmujesz, przy potęgowaniu potęgi mnożysz, a przy równych wykładnikach działasz na podstawach. Na egzaminie ósmoklasisty nie dostaniesz karty wzorów.
2Zrób tabelkę wartości do wykucia: kwadraty od 2² do 15² = 225, sześciany 2³ = 8, 3³ = 27, 4³ = 64 i 5³ = 125, potęgi dwójki do 2¹⁰ = 1024 oraz potęgi dziesiątki. Bez kalkulatora to one decydują o tempie.
3Zanim zaczniesz rachunki, sprawdź, czy da się sprowadzić wszystko do jednej podstawy. Liczby 4, 8, 16, 32 i 64 to potęgi dwójki, a 9, 27 i 81 — potęgi trójki. Po takiej zamianie zostaje samo dodawanie wykładników.
4Notację wykładniczą ćwicz w obie strony: z liczby na zapis i z zapisu na liczbę. Po każdym przekształceniu sprawdzaj dwie rzeczy — czy pierwszy czynnik jest mniejszy od 10 i czy liczba przesunięć przecinka zgadza się z wykładnikiem.
5W zadaniach „uzasadnij” zapisuj pełne rozumowanie: wyłącz przed nawias najmniejszą potęgę, policz sumę w nawiasie i dopiero na końcu napisz wniosek. Punkty dostajesz za kolejne kroki zapisu, nie za sam wynik.

Najczęstsze pytania

Ile wynosi liczba podniesiona do potęgi zerowej?

Każda liczba różna od zera podniesiona do potęgi zerowej jest równa 1 — tak samo 7⁰, jak i 0,5⁰. Najłatwiej zapamiętać to z dzielenia: 4³ : 4³ to 64 : 64, czyli 1, a z reguły odejmowania wykładników wychodzi 4⁰. Zero w wyniku dostajesz tylko wtedy, gdy podstawą jest zero.

Jak zapisać liczbę w notacji wykładniczej?

Przesuwasz przecinek tak, aby przed nim została dokładnie jedna cyfra różna od zera, i liczysz, o ile miejsc go przesunąłeś — to jest wykładnik dziesiątki. Przy liczbach dużych wykładnik jest dodatni: 2 400 000 to 2,4 · 10⁶. Przy bardzo małych ujemny: 0,00052 to 5,2 · 10⁻⁴.

Czy na egzaminie ósmoklasisty można korzystać z kalkulatora?

Nie. Na egzamin z matematyki nie wolno wnieść kalkulatora, nie ma też zestawu wzorów — przybory to długopis z czarnym tuszem i linijka. Dlatego liczby w zadaniach z potęgami są dobrane tak, żeby dało się je policzyć w pamięci albo skrócić regułą, na przykład 2³ · 5³ = 10³.

Jakie wzory i wartości z potęg trzeba znać na pamięć?

Reguły działań: mnożenie i dzielenie potęg o tej samej podstawie, mnożenie i dzielenie o tym samym wykładniku oraz potęgowanie potęgi. Do tego wartości wracające w arkuszach: kwadraty do 15², potęgi dwójki do 2¹⁰ = 1024, sześciany od 2³ = 8 do 5³ = 125 i potęgi dziesiątki.