Sprawdzian z układu współrzędnych z odpowiedziami — 5 pytań bez konta, wynik w skali ocen
Oś liczbowa i układ współrzędnych na płaszczyźnie · w arkuszu CKE z maja 2025 r. zadanie 14, z maja 2026 r. zadanie 12; w informatorze CKE zadanie otwarte 25 (środek odcinka)
Oś liczbowa i układ współrzędnych to opisywanie położenia liczbami: jeden punkt — jedna para (x, y). Podstawa programowa wymaga odczytywania i zaznaczania punktów, długości odcinka, jego środka i drugiego końca.
Ten dział to geometria zapisana liczbami. Zaczyna się od osi liczbowej — prostej z obranym zerem i jednostką — a kończy na układzie współrzędnych, w którym każdy punkt płaszczyzny ma swoją parę liczb. Polecenia są konkretne: w arkuszu z maja 2025 r. (zadanie 14) z trzech danych wierzchołków równoległoboku trzeba było wyznaczyć współrzędne czwartego, w arkuszu z maja 2026 r. (zadanie 12) — obliczyć odległość między punktami zaznaczonymi na rysunku w kratkę, a w informatorze CKE (zadanie 25, otwarte) — wyznaczyć środek odcinka. Do tego przesuwanie punktu o kilka jednostek i figury o wierzchołkach danych współrzędnymi. Gdy rysunku nie ma, warto go zrobić samemu na brudnopisie. Typowe pomyłki biorą się z liczb ujemnych: odejmowania ujemnej odciętej i ustalania ćwiartki punktu o ujemnej rzędnej. Kalkulatora nie ma, ale tutaj nie jest potrzebny, a wzorów na pola nikt nie poda — na tym egzaminie nie ma karty wzorów.
Na osi zaznaczasz zero i jednostkę, czyli odcinek od 0 do 1; pozostałe odstępy muszą być identyczne. Gdy jednostkę podzielono na cztery części, jedna kreska to ¼. Odległość punktów to różnica ich współrzędnych bez znaku: od −3 do 5 jest 8.
Oś pozioma x daje odciętą, pionowa y — rzędną; przecinają się w (0, 0). Punkt odczytujesz, rzutując go na obie osie, a zaznaczasz odwrotnie: najpierw x w bok, potem y w pionie. Ćwiartki liczysz od prawej górnej, przeciwnie do wskazówek zegara: I (+, +), II (−, +), III (−, −), IV (+, −).
Odcinek poziomy ma długość |x₂ − x₁|, pionowy |y₂ − y₁|. Ukośny liczysz Pitagorasem, dorysowując trójkąt prostokątny o bokach równoległych do osi: dla (1, 2) i (4, 6) przyprostokątne mają 3 i 4, więc odcinek ma √(3² + 4²) = 5.
Współrzędne środka to średnie arytmetyczne współrzędnych końców: S = ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2). Dla A = (−1, 2) i B = (7, 6) środkiem jest (3, 4). Znając koniec i środek, drugi koniec dostajesz, powtarzając to samo przesunięcie.
Przesuwając punkt: w prawo dodajesz do x, w lewo odejmujesz, w górę dodajesz do y, w dół odejmujesz. W symetrii względem osi x znak zmienia rzędna: (x, y) → (x, −y), względem osi y — odcięta: (x, y) → (−x, y). Symetrie należą do działu „Symetrie”, który podstawa programowa pozwala zrealizować po egzaminie ósmoklasisty, a współrzędnych obrazu punktu w symetrii nie wymienia.
Te pomyłki kosztują punkty w zadaniach z tego działu.
Pierwsza współrzędna mówi, ile w prawo lub w lewo, druga — ile w górę lub w dół. Kolejność jest stała, więc (1, 4) to zupełnie inny punkt niż (4, 1).
Długość odcinka poziomego to różnica odciętych bez znaku. Odejmujesz liczbę ujemną, więc jej znak zmienia się na plus: gdy końce leżą po dwóch stronach osi, odległości od osi się dodają.
Współrzędne środka to średnie arytmetyczne, więc sumę trzeba jeszcze podzielić przez 2. Sprawdzasz przesunięciami: od K do S jest 4 w prawo i 2 w górę, od S do L tyle samo.
Suma 3 + 4 to droga po kratkach — najpierw w bok, potem w górę. Odcinek ukośny jest przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych 3 i 4, więc jego długość daje twierdzenie Pitagorasa.
W układzie współrzędnych zaznaczono punkt A = (−5, 2). Punkt B leży o 7 jednostek w prawo i o 6 jednostek w dół od punktu A. Jakie współrzędne ma punkt B? A. (2, −4) B. (2, 8) C. (−12, −4) D. (−12, 8)
Odpowiedź A. W prawo dodajesz do odciętej: −5 + 7 = 2, w dół odejmujesz od rzędnej: 2 − 6 = −4. Odpowiedzi C i D wybiera ten, kto w prawo odjął zamiast dodać.
Dane są punkty A = (−3, 4), B = (5, 4) i C = (5, −2). Oceń prawdziwość zdań. 1. Odcinek AB ma długość 8. 2. Punkt C leży w trzeciej ćwiartce układu współrzędnych.
Zdanie 1 prawdziwe, zdanie 2 fałszywe. A i B mają tę samą rzędną, więc AB = |5 − (−3)| = 8. Punkt C ma dodatnią odciętą i ujemną rzędną, czyli leży w czwartej ćwiartce.
Dopasuj do każdego odcinka jego środek. A. odcinek o końcach (0, 0) i (6, 4), B. odcinek o końcach (−2, 3) i (4, 3), C. odcinek o końcach (1, −5) i (1, 3). Środki: 1. (3, 2), 2. (1, 3), 3. (1, −1), 4. (2, 3).
A–1, B–2, C–3. Liczysz średnie współrzędnych: (0 + 6)/2 = 3 i (0 + 4)/2 = 2; (−2 + 4)/2 = 1 i (3 + 3)/2 = 3; (1 + 1)/2 = 1 i (−5 + 3)/2 = −1. Punkt (2, 3) nie pasuje do żadnego odcinka.
Punkt S = (2, −1) jest środkiem odcinka KL. Punkt K ma współrzędne (−4, 5). Oblicz współrzędne punktu L. Zapisz obliczenia.
L = (8, −7). Z K do S odcięta rośnie o 6, a rzędna maleje o 6, więc z S do L tak samo: 2 + 6 = 8 oraz −1 − 6 = −7.
Punkty A = (−2, 1), B = (6, 1), C = (6, 5) i D = (0, 5) są kolejnymi wierzchołkami trapezu ABCD. Oblicz pole tego trapezu. Zapisz obliczenia.
Pole wynosi 28. Podstawy są poziome: AB = |6 − (−2)| = 8 i DC = |6 − 0| = 6, a wysokością jest pionowy bok BC = |5 − 1| = 4. Stąd (8 + 6) : 2 · 4 = 28.
Dla odcinka poziomego odejmujesz odcięte i bierzesz wynik bez znaku: dla (−3, 2) i (5, 2) to |5 − (−3)| = 8. Przy odcinku pionowym tak samo postępujesz z rzędnymi. Odcinek ukośny liczysz twierdzeniem Pitagorasa, dorysowując trójkąt prostokątny o bokach równoległych do osi.
Dodajesz odcięte obu końców i dzielisz przez 2, potem to samo robisz z rzędnymi. Dla końców (2, −3) i (8, 5) środkiem jest punkt (5, 1). Gdy znasz koniec i środek, a szukasz drugiego końca, powtarzasz to samo przesunięcie.
Pierwsza jest prawa górna, a kolejne liczy się przeciwnie do wskazówek zegara: druga lewa górna, trzecia lewa dolna, czwarta prawa dolna. Znaki współrzędnych to kolejno I (+, +), II (−, +), III (−, −), IV (+, −). Punkt na osi, jak (0, 4), nie leży w żadnej ćwiartce.
Nie. Komunikat dyrektora CKE o przyborach na 2027 r. wymienia na egzaminie z matematyki długopis (lub pióro) z czarnym tuszem i linijkę — karty wzorów w nim nie ma. Kalkulator prosty dopuszcza tylko dla uczniów z opinią poradni o dyskalkulii, jeśli opinia to wskazuje. Wzory na pola figur i twierdzenie Pitagorasa trzeba więc znać na pamięć.
Zadania z naszej bazy, sprawdzane natychmiast. Bez logowania.
W tym dziale mamy 47 zadań. Poniżej kilka poleceń — odpowiedzi i wyjaśnienia zobaczysz po rozwiązaniu.
Punkt (-2,\,-5) leży w trzeciej ćwiartce układu współrzędnych.
F ✓Punkt (0,\,-3) leży na osi Oy.
F ✓Ten dział omawia rozdział 15 „Oś liczbowa i układ współrzędnych” (s. 229–238) w Powtórka z matematyki PDF: teoria, przykłady krok po kroku i zadania z kluczem. Zobacz rozdział 15 →
Darmowy quiz z tego działu to 10 zadań, każde od razu ocenione i wyjaśnione. Wystarczy darmowe konto.
Wybierz, które kategorie plików cookies akceptujesz. Zgodę możesz zmienić w dowolnym momencie.
Sesja, bezpieczeństwo, podstawowa funkcjonalność (logowanie, koszyk subskrypcji, zabezpieczenia reCAPTCHA). Bez nich serwis nie działa.
Google Analytics 4 — anonimowe statystyki użycia serwisu. Pomaga nam poprawiać aplikację na podstawie tego, które funkcje są faktycznie używane.
Google Ads — remarketing i pomiar skuteczności reklam. Dzięki temu możemy pokazywać Ci trafniejsze reklamy i finansować rozwój darmowej wersji.
Zapamiętywanie preferencji (motyw ciemny/jasny, wybrane przedmioty, ustawienia sesji).
Dopasowywanie treści do Twoich zainteresowań (rekomendacje pytań, spersonalizowane powiadomienia o powtórkach).