🧮Matematykazadania zamknięte z odczytywaniem punktów, przesuwaniem punktu i środkiem odcinka oraz zadania otwarte o długość odcinka albo pole figuryzadania zamknięte po 1 pkt, zadania otwarte po 2–3 pkt17 zadań

🧭Oś liczbowa i układ współrzędnych

Oś liczbowa i układ współrzędnych na płaszczyźnie · dział wraca regularnie — zwykle w zadaniu zamkniętym, bywa też podstawą zadania otwartego

Oś liczbowa i układ współrzędnych to opisywanie położenia liczbami: jeden punkt — jedna para (x, y). Arkusz sprawdza odczytywanie punktów, długość odcinka, środek odcinka i pole figury w układzie.

Ten dział to geometria zapisana liczbami. Zaczyna się od osi liczbowej — prostej z obranym zerem i jednostką — a kończy na układzie współrzędnych, w którym każdy punkt płaszczyzny ma swoją parę liczb. Arkusz sprawdza to bardzo konkretnie: odczytaj współrzędne punktu z rysunku, przesuń punkt o kilka jednostek, oblicz długość odcinka równoległego do osi, znajdź środek odcinka albo jego drugi koniec, a w zadaniu otwartym — pole figury o wierzchołkach danych współrzędnymi. Rysunek bywa dołączony, ale częściej trzeba zrobić go samemu na brudnopisie — to najkrótsza droga do wyniku. Najwięcej punktów przepada przez liczby ujemne: odejmowanie ujemnej odciętej, ćwiartkę punktu o ujemnej rzędnej i znak zmieniający się przy symetrii. Kalkulatora nie ma, ale tutaj nie jest potrzebny, a wzorów na pola nikt nie poda — na tym egzaminie nie ma karty wzorów.

Co trzeba umieć z tego działu

Oś liczbowa: jednostka, punkty, odległość

Na osi zaznaczasz zero i jednostkę, czyli odcinek od 0 do 1; pozostałe odstępy muszą być identyczne. Gdy jednostkę podzielono na cztery części, jedna kreska to ¼. Odległość punktów to różnica ich współrzędnych bez znaku: od −3 do 5 jest 8.

Układ współrzędnych, ćwiartki i zaznaczanie punktów

Oś pozioma x daje odciętą, pionowa y — rzędną; przecinają się w (0, 0). Punkt odczytujesz, rzutując go na obie osie, a zaznaczasz odwrotnie: najpierw x w bok, potem y w pionie. Ćwiartki liczysz od prawej górnej, przeciwnie do wskazówek zegara: I (+, +), II (−, +), III (−, −), IV (+, −).

Długość odcinka

Odcinek poziomy ma długość |x₂ − x₁|, pionowy |y₂ − y₁|. Ukośny liczysz Pitagorasem, dorysowując trójkąt prostokątny o bokach równoległych do osi: dla (1, 2) i (4, 6) przyprostokątne mają 3 i 4, więc odcinek ma √(3² + 4²) = 5.

Środek odcinka i drugi koniec

Współrzędne środka to średnie arytmetyczne współrzędnych końców: S = ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2). Dla A = (−1, 2) i B = (7, 6) środkiem jest (3, 4). Znając koniec i środek, drugi koniec dostajesz, powtarzając to samo przesunięcie.

Symetria i przesuwanie punktów

W symetrii względem osi x znak zmienia rzędna: (x, y) → (x, −y). Względem osi y — odcięta: (x, y) → (−x, y). Względem początku układu oba znaki. Przesuwając punkt: w prawo dodajesz do x, w lewo odejmujesz, w górę dodajesz do y, w dół odejmujesz.

Najczęstsze błędy

Te pomyłki kosztują punkty w zadaniach z tego działu.

ŹlePunkt leżący 4 jednostki w prawo i 1 jednostkę w górę od początku układu ma współrzędne (1, 4).

DobrzeTen punkt ma współrzędne (4, 1).

Pierwsza współrzędna mówi, ile w prawo lub w lewo, druga — ile w górę lub w dół. Kolejność jest stała, więc (1, 4) to zupełnie inny punkt niż (4, 1).

ŹleOdcinek o końcach A = (−3, 2) i B = (5, 2) ma długość 5 − 3 = 2.

DobrzeAB = |5 − (−3)| = 5 + 3 = 8

Długość odcinka poziomego to różnica odciętych bez znaku. Odejmujesz liczbę ujemną, więc jej znak zmienia się na plus: gdy końce leżą po dwóch stronach osi, odległości od osi się dodają.

ŹleŚrodek odcinka o końcach K = (−2, 3) i L = (6, 7) ma współrzędne (4, 10).

DobrzeS = ((−2 + 6)/2, (3 + 7)/2) = (2, 5)

Współrzędne środka to średnie arytmetyczne, więc sumę trzeba jeszcze podzielić przez 2. Sprawdzasz przesunięciami: od K do S jest 4 w prawo i 2 w górę, od S do L tyle samo.

ŹleObrazem punktu P = (−4, 6) w symetrii względem osi y jest punkt (−4, −6).

DobrzeObrazem jest punkt (4, 6).

W symetrii względem osi y punkt przeskakuje na drugą stronę tej osi w poziomie, więc znak zmienia odcięta; rzędna zmienia znak przy symetrii względem osi x. Oś leży zawsze między punktem a jego obrazem.

Jak arkusz sprawdza ten dział

Zadanie zamknięte

W układzie współrzędnych zaznaczono punkt A = (−5, 2). Punkt B leży o 7 jednostek w prawo i o 6 jednostek w dół od punktu A. Jakie współrzędne ma punkt B? A. (2, −4) B. (2, 8) C. (−12, −4) D. (−12, 8)

Odpowiedź A. W prawo dodajesz do odciętej: −5 + 7 = 2, w dół odejmujesz od rzędnej: 2 − 6 = −4. Odpowiedzi C i D wybiera ten, kto w prawo odjął zamiast dodać.

Prawda/fałsz

Dane są punkty A = (−3, 4), B = (5, 4) i C = (5, −2). Oceń prawdziwość zdań. 1. Odcinek AB ma długość 8. 2. Punkt C leży w trzeciej ćwiartce układu współrzędnych.

Zdanie 1 prawdziwe, zdanie 2 fałszywe. A i B mają tę samą rzędną, więc AB = |5 − (−3)| = 8. Punkt C ma dodatnią odciętą i ujemną rzędną, czyli leży w czwartej ćwiartce.

Dobieranie

Dopasuj do każdego punktu jego obraz w symetrii względem osi x. A. P = (3, −5), B. Q = (−2, 6), C. R = (0, 4). Obrazy: 1. (−2, −6), 2. (0, −4), 3. (3, 5).

A–3, B–1, C–2. Odcięta zostaje bez zmian, a rzędna zmienia znak. Punkt R leży na osi y, więc jego obraz też ma odciętą 0.

Zadanie otwarte (2 pkt)

Punkt S = (2, −1) jest środkiem odcinka KL. Punkt K ma współrzędne (−4, 5). Oblicz współrzędne punktu L. Zapisz obliczenia.

L = (8, −7). Z K do S odcięta rośnie o 6, a rzędna maleje o 6, więc z S do L tak samo: 2 + 6 = 8 oraz −1 − 6 = −7.

Zadanie otwarte (3 pkt)

Punkty A = (−2, 1), B = (6, 1), C = (6, 5) i D = (0, 5) są kolejnymi wierzchołkami trapezu ABCD. Oblicz pole tego trapezu. Zapisz obliczenia.

Pole wynosi 28. Podstawy są poziome: AB = |6 − (−2)| = 8 i DC = |6 − 0| = 6, a wysokością jest pionowy bok BC = |5 − 1| = 4. Stąd (8 + 6) : 2 · 4 = 28.

Jak opanować ten dział przed egzaminem

1Zawsze rysuj, nawet w zadaniu zamkniętym: dwie osie na kratce, jedna kratka to jedna jednostka, zaznaczone punkty z treści. Na rysunku od razu widać, czy wynik ma sens.
2Do każdego zadania wypisuj dwie różnice: o ile zmienia się x i o ile y. Tym nawykiem załatwiasz przesunięcie punktu, długość odcinka, środek i wysokość figury.
3Znaki ćwiartek naucz się na pamięć: I (+, +), II (−, +), III (−, −), IV (+, −). Dopisz, że punkty na osiach nie leżą w żadnej ćwiartce — o to lubią pytać zdania prawda–fałsz.
4Ćwicz osobno odejmowanie liczb ujemnych. To tu najczęściej ginie punkt: |5 − (−3)| to 8, a nie 2, i ta sama pomyłka wraca przy środku odcinka oraz przy polu.
5Powtórz wzory na pola prostokąta, trójkąta, równoległoboku i trapezu oraz twierdzenie Pitagorasa — karty wzorów nie dostaniesz. W zadaniu otwartym zapisz obliczenia i sprawdź wynik podstawieniem.

Najczęstsze pytania

Jak obliczyć długość odcinka w układzie współrzędnych?

Dla odcinka poziomego odejmujesz odcięte i bierzesz wynik bez znaku: dla (−3, 2) i (5, 2) to |5 − (−3)| = 8. Przy odcinku pionowym tak samo postępujesz z rzędnymi. Odcinek ukośny liczysz twierdzeniem Pitagorasa, dorysowując trójkąt prostokątny o bokach równoległych do osi.

Jak znaleźć współrzędne środka odcinka?

Dodajesz odcięte obu końców i dzielisz przez 2, potem to samo robisz z rzędnymi. Dla końców (2, −3) i (8, 5) środkiem jest punkt (5, 1). Gdy znasz koniec i środek, a szukasz drugiego końca, powtarzasz to samo przesunięcie.

Jak ponumerowane są ćwiartki układu współrzędnych?

Pierwsza jest prawa górna, a kolejne liczy się przeciwnie do wskazówek zegara: druga lewa górna, trzecia lewa dolna, czwarta prawa dolna. Znaki współrzędnych to kolejno I (+, +), II (−, +), III (−, −), IV (+, −). Punkt na osi, jak (0, 4), nie leży w żadnej ćwiartce.

Czy na egzaminie ósmoklasisty można mieć kalkulator i kartę wzorów?

Nie. Matematykę zdaje się bez kalkulatora i bez zestawu wzorów, więc wzory na pola figur i twierdzenie Pitagorasa trzeba znać na pamięć. W tym dziale liczby są dobrane tak, żeby rachunki dało się wykonać w pamięci albo na brudnopisie.