Sprawdzian z rozumowania i argumentacji z odpowiedziami — 5 pytań bez konta, wynik w skali ocen
Rozumowanie i argumentacja — wymaganie ogólne podstawy programowej z matematyki · wymaganie „Rozumowanie i argumentacja” CKE przypisała w arkuszu z maja 2025 r. zadaniom 16, 20 i 21, a w arkuszu z maja 2026 r. zadaniom 6, 16 i 18
Zadania, w których nie chodzi o wynik, tylko o pokazanie, że coś jest prawdziwe zawsze — dla każdej liczby albo dla każdej figury danego rodzaju. Punkty dostajesz za zapisane rozumowanie, nie za odpowiedź.
Rozumowanie i argumentacja to nie osobny materiał, tylko sposób, w jaki arkusz sprawdza wszystko pozostałe. Polecenie zaczyna się od słowa „uzasadnij”, „wykaż” albo „wyjaśnij” i nie pyta o jedną liczbę — pyta, czy potrafisz pokazać, że coś zachodzi dla każdej liczby albo każdej figury danego rodzaju, a nie tylko dla tej jednej, którą akurat podstawiłeś. Takie zadania otwarte są punktowane za zapis rozumowania: samo „tak” bez uzasadnienia nie wystarczy. W informatorze CKE polecenie „uzasadnij” dotyczy dni tygodnia w kalendarzu (zadanie 23), pól figur (zadanie 30) i kątów (zadanie 32), a w arkuszach z 2025 i 2026 r. wymaganie „Rozumowanie i argumentacja” dotyczyło m.in. sumy ułamków, pól wielokątów, parzystości liczb, prędkości i brył. Łatwo stracić punkty na trzech rzeczach: sprawdzeniu własności na jednym przykładzie zamiast ogólnie, braku litery oznaczającej dowolną liczbę i zgubionym wniosku na końcu. Kalkulatora na egzaminie nie ma, a rachunki wykonujesz pisemnie.
To zadanie otwarte, w którym oceniana jest droga, a nie sama odpowiedź. Musisz pokazać, że teza jest prawdziwa dla wszystkich liczb albo figur opisanego rodzaju. Podstawienie kilku liczb nie jest uzasadnieniem — jest tylko sprawdzeniem, że w tych przypadkach się zgadza.
Zacznij od oznaczeń: „niech n będzie dowolną liczbą naturalną”. Potem zapisz rachunek lub rozumowanie krok po kroku, każdy w osobnej linijce. Skończ pełnym zdaniem, które powtarza tezę: „zatem suma dzieli się przez 3”. To zdanie pokazuje, że rozumowanie doszło do tego, co miałeś uzasadnić.
Trzy kolejne liczby naturalne to n, n + 1, n + 2, a nie trzy osobne litery. Liczba parzysta to 2n, nieparzysta 2n + 1, dwie kolejne nieparzyste to 2n + 1 i 2n + 3. Liczba dwucyfrowa o cyfrach a i b to 10a + b. Te cztery zapisy wystarczają do większości zadań.
Dowód podzielności kończy się wyłączeniem czynnika przed nawias: 3n + 3 = 3 · (n + 1) dzieli się przez 3, a 4n + 4 = 4 · (n + 1) przez 4. Kluczowe zdanie brzmi: skoro liczba jest iloczynem, w którym jednym z czynników jest 3, to dzieli się przez 3.
Suma kątów trójkąta to 180°, kąty wierzchołkowe są równe, a kąty przyległe dają razem 180°. Przy prostych równoległych kąty odpowiadające i naprzemianległe są równe. W trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie są równe. Pole trójkąta to ½ · a · h, a wysokość mierzysz do prostej zawierającej podstawę — dlatego przesunięcie wierzchołka wzdłuż prostej równoległej do podstawy nie zmienia pola.
Jeśli masz wykazać, że coś nie zachodzi zawsze, wystarczy jedna liczba albo jedna figura, dla której zdanie jest fałszywe — i rachunek, który to pokazuje. W drugą stronę to nie działa: przykład nigdy nie udowodni zdania prawdziwego, choćby pasował dziesięć razy.
Te pomyłki kosztują punkty w zadaniach z tego działu.
Jeden przykład pokazuje tylko, że własność zachodzi dla tych trzech liczb. Uzasadnienie musi obejmować wszystkie liczby naturalne naraz, a to daje dopiero zapis z literą.
n i n + 1 to dwie kolejne liczby naturalne — jedna z nich jest zawsze parzysta. Kolejne liczby nieparzyste różnią się o 2, a zapis 2n + 1 gwarantuje nieparzystość z samej budowy, bez dodatkowych założeń.
Sam poprawny rachunek nie jest jeszcze uzasadnieniem. Brakuje dwóch rzeczy: wyłączenia wspólnego czynnika, z którego widać podzielność, oraz zdania końcowego, które wraca do tezy z polecenia.
Ogólne zdanie o tym, że coś „się nie zgadza”, nie jest argumentem. Żeby obalić twierdzenie, podaj jeden konkretny kontrprzykład i pokaż rachunkiem, że rzeczywiście nie spełnia warunku.
Liczba n jest liczbą naturalną. Która z poniższych liczb jest parzysta dla każdego n? A. n + 2 B. 2n + 1 C. n · (n + 1) D. n² + 1
Odpowiedź C. Wśród dwóch kolejnych liczb naturalnych zawsze jest jedna parzysta, a iloczyn z czynnikiem parzystym jest parzysty. A zawodzi dla n = 1, B jest zawsze nieparzysta, D zawodzi dla n = 2, bo 2² + 1 = 5.
W trójkącie ABC boki AC i BC mają równą długość, a kąt ACB ma miarę 100°. Oceń prawdziwość zdań. 1. Każdy z kątów przy podstawie AB ma miarę 40°. 2. Trójkąt ABC jest prostokątny.
Zdanie 1 — prawda, zdanie 2 — fałsz. Trójkąt jest równoramienny, więc kąty przy podstawie są równe, a na oba zostaje 180° − 100° = 80°, czyli po 40°. Największy kąt ma 100°, więc trójkąt jest rozwartokątny, a nie prostokątny.
Do każdego zdania dobierz liczbę, która pokazuje, że jest ono fałszywe. A. Każda liczba naturalna podzielna przez 4 jest podzielna przez 8. B. Każda liczba nieparzysta większa od 1 jest liczbą pierwszą. C. Kwadrat każdej liczby naturalnej dodatniej jest większy od tej liczby. Liczby: 1, 9, 12.
A — 12, bo 12 : 4 = 3, ale 12 : 8 = 1,5. B — 9, bo 9 = 3 · 3, więc nie jest liczbą pierwszą. C — 1, bo 1² = 1, a 1 nie jest większe od 1. Każdy kontrprzykład pasuje tylko do jednego zdania.
Uzasadnij, że suma trzech kolejnych liczb naturalnych jest podzielna przez 3.
Niech pierwsza z liczb to n, kolejne to n + 1 i n + 2. Wtedy n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + 3 = 3 · (n + 1). Jednym z czynników jest 3, więc suma dzieli się przez 3 — i to zdanie musi znaleźć się na końcu rozwiązania.
W prostokącie ABCD bok AB ma długość 10 cm, a bok BC długość 6 cm. Punkt E jest środkiem boku CD. Uzasadnij, że pole trójkąta ABE jest równe połowie pola prostokąta ABCD.
Pole prostokąta: 10 · 6 = 60 cm². W trójkącie ABE podstawą jest AB, czyli 10 cm, a wysokość to odległość między równoległymi bokami AB i CD, czyli 6 cm. Pole trójkąta: ½ · 10 · 6 = 30 cm², a 30 to połowa z 60. Warto dopisać, że położenie punktu E na boku CD nie ma tu znaczenia — wysokość jest ta sama.
Znaczy: pokaż, dlaczego to jest prawdziwe zawsze, a nie tylko w jednym przypadku. To zadanie otwarte, w którym punkty przyznaje się za zapisane rozumowanie. Według informatora CKE rozwiązanie zadania otwartego ma obrazować tok rozumowania, więc sama odpowiedź „tak, bo sprawdziłem” nie wystarczy, nawet jeśli teza rzeczywiście jest prawdziwa.
Nie. Liczb naturalnych jest nieskończenie wiele, więc żadna liczba przykładów nie obejmuje wszystkich przypadków. Przykłady są przydatne na brudnopisie, żeby zrozumieć, o co chodzi w zadaniu, ale w czystopisie potrzebny jest zapis z literą, na przykład n, n + 1, n + 2.
Wystarczy jeden kontrprzykład: konkretna liczba albo figura, dla której zdanie nie zachodzi, plus rachunek, który to pokazuje. Na przykład zdanie „każda liczba podzielna przez 4 jest podzielna przez 8” obala liczba 12, bo 12 : 4 = 3, a 12 : 8 = 1,5.
Przy własnościach liczb praktycznie zawsze, bo tylko litera obejmuje wszystkie przypadki naraz. W geometrii bywa inaczej — tam uzasadnieniem może być ciąg zdań o kątach albo o polach, na przykład że kąty przy podstawie trójkąta równoramiennego są równe, a suma kątów trójkąta wynosi 180°.
Zadania z naszej bazy, sprawdzane natychmiast. Bez logowania.
W tym dziale mamy 47 zadań. Poniżej kilka poleceń — odpowiedzi i wyjaśnienia zobaczysz po rozwiązaniu.
Ten dział omawia rozdział 17 „Zadania otwarte: zapis rozwiązania” (s. 261–274) w Powtórka z matematyki PDF: teoria, przykłady krok po kroku i zadania z kluczem. Zobacz rozdział 17 →
Darmowy quiz z tego działu to 10 zadań, każde od razu ocenione i wyjaśnione. Wystarczy darmowe konto.
Wybierz, które kategorie plików cookies akceptujesz. Zgodę możesz zmienić w dowolnym momencie.
Sesja, bezpieczeństwo, podstawowa funkcjonalność (logowanie, koszyk subskrypcji, zabezpieczenia reCAPTCHA). Bez nich serwis nie działa.
Google Analytics 4 — anonimowe statystyki użycia serwisu. Pomaga nam poprawiać aplikację na podstawie tego, które funkcje są faktycznie używane.
Google Ads — remarketing i pomiar skuteczności reklam. Dzięki temu możemy pokazywać Ci trafniejsze reklamy i finansować rozwój darmowej wersji.
Zapamiętywanie preferencji (motyw ciemny/jasny, wybrane przedmioty, ustawienia sesji).
Dopasowywanie treści do Twoich zainteresowań (rekomendacje pytań, spersonalizowane powiadomienia o powtórkach).