🧮Matematykazadania zamknięte z tabelą, diagramem albo wykresem oraz zadania otwarte, w których liczysz średnią i zapisujesz obliczeniazadania zamknięte 1 pkt, otwarte 2–3 pkt17 zadań

📊Odczytywanie danych i statystyka

Odczytywanie i interpretowanie danych z tabel, diagramów i wykresów oraz średnia arytmetyczna · dane w tabeli, na diagramie lub wykresie wracają w arkuszach regularnie, często jako wspólne wprowadzenie do kilku poleceń

Ten dział to czytanie tabel, diagramów i wykresów oraz liczenie średniej arytmetycznej. Jeden zestaw danych obsługuje w arkuszu zwykle kilka poleceń, więc jeden zły odczyt zabiera punkty w kilku miejscach.

Ten dział to praca na gotowych danych: tabela, diagram słupkowy, diagram kołowy albo wykres liniowy i pytania o to, co z nich wynika. Arkusz sprawdza go na dwa sposoby. Pierwszy to sam odczyt — ile książek wypożyczono w środę, w którym dniu było najzimniej, o ile więcej uczniów wybrało jedną odpowiedź niż drugą. Drugi to rachunek na odczytanych liczbach: średnia arytmetyczna, procent całości, suma kilku słupków, uzupełnienie brakującej danej. Najwięcej punktów przepada nie na rachunku, tylko na nieuwadze: pominięta jednostka w nagłówku tabeli, oś, która nie zaczyna się od zera, procent pomylony z liczbą osób i średnia policzona bez uwzględnienia, ile razy dana wartość wystąpiła. Do tego dochodzi brak kalkulatora — dzielenie przy średniej wykonujesz pisemnie albo skracasz ułamek, a wynik niecałkowity zostawiasz jako ułamek dziesiętny z przecinkiem.

Co trzeba umieć z tego działu

Odczytywanie tabeli

Zanim cokolwiek policzysz, przeczytaj nagłówek wiersza i kolumny oraz jednostkę — dopisek „w tysiącach złotych” zmienia każdą odpowiedź. Dopiero potem szukaj komórki. Typowe polecenia: podaj sumę wartości, wskaż kategorię z wynikiem największym, policz różnicę między dwiema wartościami.

Diagram słupkowy i wykres liniowy

Najpierw ustal, ile warta jest jedna kratka: jeśli opisane podziałki to 0, 20 i 40, a między nimi mieszczą się cztery kratki, kratka to 5. Z wykresu liniowego czytasz też zmianę — odcinek rosnący to wzrost, opadający to spadek, poziomy to brak zmiany.

Diagram kołowy i procenty

Całe koło to 100% danych, czyli kąt pełny 360°. Połowa koła to 50%, a ćwiartka i wycinek o kącie 90° to 25%. Żeby zamienić procent na liczbę sztuk, policz 1% całości i mnóż: przy 200 osobach 1% to 2 osoby, więc 35% to 70 osób.

Średnia arytmetyczna

Średnia to suma wszystkich danych podzielona przez ich liczbę. W tabeli liczebności każdą wartość mnożysz przez liczbę jej wystąpień, a dzielisz przez łączną liczbę wyników. Średnia nie musi być liczbą całkowitą ani żadną z liczb z zestawu.

Zadania odwrotne — brakująca dana

Gdy pytanie brzmi „ile trzeba dostać, żeby średnia wyniosła…”, odwróć wzór: suma = średnia · liczba danych. Policz sumę docelową, odejmij to, co już jest, i zostaje szukana wartość. Tak samo uzupełnisz brakującą liczbę w tabeli, gdy znasz sumę.

Porządkowanie danych i pułapki odczytu

Dane z tabeli trzeba czasem najpierw uporządkować rosnąco albo pogrupować. Uważaj na wykres, którego oś nie zaczyna się od zera — słupek dwa razy wyższy nie oznacza dwa razy większej wartości. Sprawdzaj też, czy dwa wykresy obok siebie mają tę samą skalę.

Najczęstsze błędy

Te pomyłki kosztują punkty w zadaniach z tego działu.

ŹleOceny w tabeli: 3 — pięcioro uczniów, 4 — troje, 5 — dwoje. Średnia = (3 + 4 + 5) : 3 = 4

DobrzeŚrednia = (3 · 5 + 4 · 3 + 5 · 2) : 10 = 37 : 10 = 3,7

W tabeli liczebności każda ocena waży tyle, ile razy wystąpiła. Sumę dzielisz przez liczbę uczniów, czyli 10, a nie przez liczbę różnych ocen.

ŹleKlasa 8a: 20 uczniów, średnia 15 pkt. Klasa 8b: 30 uczniów, średnia 20 pkt. Średnia obu klas = (15 + 20) : 2 = 17,5

DobrzeŚrednia obu klas = (20 · 15 + 30 · 20) : 50 = 900 : 50 = 18

Średnich nie wolno uśredniać, bo grupy są różnej wielkości. Wracasz do sum: liczysz łączną liczbę punktów i dzielisz przez łączną liczbę uczniów.

ŹleOś pionowa zaczyna się od 90. Słupek B jest na rysunku dwa razy wyższy od słupka A, więc wynik B jest dwa razy większy.

DobrzeOdczytane wartości to A — 94 i B — 98, czyli B jest większe o 4.

Gdy oś nie zaczyna się od zera, wysokość słupka nie jest wprost proporcjonalna do wartości. Porównujesz odczytane liczby, nigdy same wysokości.

ŹleWycinek „rower” to 15% diagramu, a w szkole jest 300 uczniów, więc rowerem jeździ 15 uczniów.

Dobrze15% z 300 to 0,15 · 300 = 45 uczniów.

Procent mówi o części całości, a nie podaje gotowej liczby osób. Policz 1% całości — tutaj 3 uczniów — i pomnóż przez liczbę procent.

Jak arkusz sprawdza ten dział

Zadanie zamknięte

W tabeli podano liczbę dni z opadami w czterech miesiącach: marzec — 12, kwiecień — 9, maj — 16, czerwiec — 5. O ile więcej dni z opadami było w maju niż w kwietniu i czerwcu łącznie? A. 2 B. 5 C. 7 D. 11

Odpowiedź A. Sumujesz dwa miesiące: 9 + 5 = 14, a potem odejmujesz od maja: 16 − 14 = 2. Odpowiedzi C i D to wynik odjęcia tylko jednego miesiąca — pułapka na pośpiech.

Prawda/fałsz

Wykres liniowy pokazuje temperaturę o godzinie 7:00 przez pięć kolejnych dni: poniedziałek −4°C, wtorek −1°C, środa 0°C, czwartek 2°C, piątek −2°C. Oceń prawdziwość zdań. 1. Średnia temperatura z tych pięciu dni jest ujemna. 2. Największy wzrost temperatury z dnia na dzień nastąpił między środą a czwartkiem.

Pierwsze zdanie prawda, drugie fałsz. Suma wynosi −4 − 1 + 0 + 2 − 2 = −5, więc średnia to −5 : 5 = −1°C. Największy wzrost, o 3°C, był między poniedziałkiem a wtorkiem — czwartek ma najwyższą temperaturę, ale nie największy skok.

Dobieranie

Diagram kołowy przedstawia, jak 200 uczniów dociera na lekcje: pieszo 40%, autobusem 35%, rowerem 15%, samochodem 10%. Dopasuj do każdego sposobu liczbę uczniów spośród: 20, 30, 70, 80.

Pieszo — 80, autobusem — 70, rowerem — 30, samochodem — 20. Wystarczy policzyć 1% całości: 200 : 100 = 2 uczniów, i mnożyć. Kontrola: 80 + 70 + 30 + 20 = 200.

Zadanie otwarte (2 pkt)

Kuba dostał z czterech sprawdzianów oceny 4, 3, 5 i 4. Jaką ocenę musi dostać z piątego sprawdzianu, żeby średnia z pięciu ocen wyniosła 4,2? Zapisz obliczenia.

Odpowiedź: 5. Suma pięciu ocen musi wynosić 5 · 4,2 = 21, a dotychczas Kuba ma 4 + 3 + 5 + 4 = 16, więc brakuje 21 − 16 = 5. Punktowany jest pomysł z sumą docelową, więc zapisz to działanie.

Zadanie otwarte (3 pkt)

W tabeli podano wyniki kartkówki w klasie liczącej 20 uczniów: 2 punkty — 2 uczniów, 3 punkty — 5 uczniów, 4 punkty — 8 uczniów, 5 punktów — 5 uczniów. Oblicz średnią liczbę punktów w tej klasie oraz podaj, ilu uczniów zdobyło co najmniej 4 punkty. Zapisz obliczenia.

Średnia wynosi 3,8 punktu, a co najmniej 4 punkty zdobyło 13 uczniów. Łączna liczba punktów to 2 · 2 + 3 · 5 + 4 · 8 + 5 · 5 = 76, więc 76 : 20 = 3,8. Zwrot „co najmniej 4” obejmuje 4 i 5 punktów, czyli 8 + 5 uczniów.

Jak opanować ten dział przed egzaminem

1Zanim policzysz cokolwiek, opisz rysunek: podkreśl jednostkę z nagłówka tabeli albo z opisu osi i zapisz na marginesie, ile warta jest jedna kratka.
2Przepisz dane z diagramu na listę liczb obok zadania. Na liczbach liczy się szybciej i pewniej, a przy kilku poleceniach do jednego rysunku odczytujesz wszystko tylko raz.
3Ćwicz średnią w trzech wariantach: zwykłą, z tabeli liczebności i odwrotną — „ile trzeba dostać, żeby średnia wyniosła…”. Ostatni sprawia najwięcej kłopotu, a wraca najczęściej.
4Trenuj dzielenie bez kalkulatora: zamiast walczyć z 76 : 20 skróć ułamek do 19 : 5 i policz 3,8. Przy dzieleniu przez 4, 5, 20, 25 i 50 zawsze da się skrócić.
5Sprawdzaj sensowność wyniku: średnia leży między najmniejszą a największą daną, procenty na diagramie kołowym dają 100, a suma części daje całość z tabeli.

Najczęstsze pytania

Jak obliczyć średnią arytmetyczną?

Dodaj wszystkie dane i podziel sumę przez to, ile ich jest. Dla ocen 4, 3, 5 i 4 liczysz 4 + 3 + 5 + 4 = 16, a potem 16 : 4 = 4. Gdy dane są w tabeli liczebności, każdą wartość najpierw mnożysz przez liczbę jej wystąpień.

Czy na egzaminie ósmoklasisty z matematyki można korzystać z kalkulatora?

Nie, kalkulatora na egzaminie nie ma — rachunki wykonujesz pisemnie na brudnopisie albo w miejscu na rozwiązanie. Dlatego liczby w zadaniach o dane są dobrane tak, żeby dzielenie dało się skrócić albo sprowadzić do dzielenia przez 2, 4, 5, 10, 20 czy 25.

Czy na egzaminie ósmoklasisty trzeba znać medianę i dominantę?

Nie. Statystyka na tym egzaminie to odczytywanie i porównywanie danych z tabel, diagramów i wykresów oraz obliczanie średniej arytmetycznej. Mediany i dominanty uczy się dopiero w szkole ponadpodstawowej, więc nie trać na nie czasu w powtórkach.

Jak obliczyć, ilu osobom odpowiada procent na diagramie kołowym?

Potraktuj całe koło jako 100% i policz 1% całości, czyli podziel liczbę wszystkich danych przez 100. Potem pomnóż przez liczbę procent z wycinka: przy 300 uczniach 1% to 3 uczniów, więc wycinek 15% oznacza 45 uczniów.