Elementy kombinatoryki i rachunku prawdopodobieństwa · dział niewielki, ale powtarzalny — zwykle trafia się choć jedno zadanie o losowaniu lub zliczaniu
Zliczanie możliwości i ocenianie szans: ile zestawów da się ułożyć i jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania kuli. Cały dział stoi na wypisywaniu, regule mnożenia i jednym wzorze.
Ten dział łączy dwie umiejętności: zliczanie i ocenianie szans. Zliczanie na egzaminie ósmoklasisty jest proste — wypisujesz wszystkie możliwości po kolei albo mnożysz liczby wyborów w kolejnych krokach. Silnia i symbol Newtona nie obowiązują, więc jeśli zadanie wygląda na trudne, prawie zawsze da się je rozwiązać drzewkiem albo uporządkowaną listą. Druga część to prawdopodobieństwo liczone jednym wzorem: liczba zdarzeń sprzyjających podzielona przez liczbę wszystkich możliwych. Sytuacje są zawsze konkretne — rzut kostką lub monetą, losowanie kuli z pudełka, wyciągnięcie kartonika z opisanego zbioru liczb. Arkusz sprawdza ten dział najczęściej krótkim zadaniem zamkniętym, w którym cztery odpowiedzi to cztery ułamki, oraz zdaniami prawda/fałsz o rzucie kostką. Kłopot sprawia nie rachunek, tylko dwie rzeczy: policzenie wszystkich możliwych wyników, a nie tylko tych wygodnych, i odróżnienie wyniku doświadczenia od wyniku obliczeń. Kalkulatora nie ma, ale nie jest potrzebny — wyniki to ułamki, które skracasz w pamięci.
Najpewniejsza metoda w tym dziale: wypisz wszystkie przypadki w ustalonym porządku. Z cyfr 1, 2, 3 liczby dwucyfrowe o różnych cyfrach to 12, 13, 21, 23, 31, 32 — sześć sztuk. Porządek chroni przed zgubieniem możliwości.
Gdy wybór składa się z kilku niezależnych kroków, liczby możliwości mnożysz: 3 bluzy i 5 czapek dają 3 · 5 = 15 zestawów. Drzewko pokazuje to samo obrazkiem, a liczba jego końcówek to liczba wszystkich wyników.
Jeden wzór na cały dział: prawdopodobieństwo = liczba zdarzeń sprzyjających : liczba wszystkich możliwych. Przy rzucie kostką liczba parzysta ma prawdopodobieństwo 3/6 = 1/2, bo sprzyjają jej wyniki 2, 4 i 6. Wynik zawsze skracaj.
Prawdopodobieństwo każdego zdarzenia mieści się między 0 a 1. Zdarzenie niemożliwe, jak wyrzucenie 7 oczek zwykłą kostką, ma prawdopodobieństwo 0; zdarzenie pewne ma 1. Wynik większy od 1 zawsze oznacza pomylenie licznika z mianownikiem.
Jeśli zdarzenie ma prawdopodobieństwo 2/5, to prawdopodobieństwo, że nie zajdzie, wynosi 1 − 2/5 = 3/5; obie liczby dają w sumie 1. Szanse porównujesz przez wspólny mianownik albo zamianę na ułamki dziesiętne: 3/8 = 0,375, a 2/5 = 0,4.
Częstość to wynik doświadczenia: ile razy coś wypadło, podzielone przez liczbę prób. Prawdopodobieństwo wyliczasz z warunków zadania. Te liczby zwykle się różnią, a im więcej prób, tym bardziej częstość zbliża się do prawdopodobieństwa.
Te pomyłki kosztują punkty w zadaniach z tego działu.
Reguła mnożenia działa wtedy, gdy bierzesz po jednym elemencie z każdej grupy: do każdej z 3 bluz pasuje 5 czapek. Dodawanie odpowiada na inne pytanie — ile masz sztuk ubrań.
W mianowniku zawsze stoi liczba wszystkich możliwych wyników, czyli tu wszystkich kul: 6 + 4 = 10. Zestawienie jednego koloru z drugim daje stosunek, a nie prawdopodobieństwo.
Mnożąc 6 · 5, liczysz partię Ani z Bartkiem i partię Bartka z Anią jako dwie różne, a to jedno spotkanie — dlatego dzielisz przez 2. Sprawdzenie: 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15.
Prawdopodobieństwo wynika z warunków zadania: moneta ma dwie strony, więc na orła przypada jeden z dwóch wyników. Krótka seria rzutów daje tylko częstość.
W szkolnej stołówce można wybrać jedną z 4 zup, jedno z 3 drugich dań i jeden z 2 deserów. Ile różnych zestawów — zupa, drugie danie, deser — można zamówić? A. 9 B. 14 C. 24 D. 32
Odpowiedź C — 24. Wybór ma trzy niezależne kroki, więc liczby możliwości mnożysz: 4 · 3 · 2 = 24. Odpowiedź A to pułapka na tych, którzy dodali (4 + 3 + 2 = 9).
Rzucamy jeden raz symetryczną sześcienną kostką do gry. Oceń prawdziwość zdań. 1. Prawdopodobieństwo wyrzucenia liczby oczek większej niż 4 jest równe 1/3. 2. Prawdopodobieństwo wyrzucenia liczby oczek podzielnej przez 3 jest równe 1/2.
Zdanie 1. — prawda, zdanie 2. — fałsz. Większe od 4 są wyniki 5 i 6, czyli 2/6 = 1/3. Przez 3 dzielą się wyniki 3 i 6, więc też 1/3, a nie 1/2.
W woreczku jest 5 kul żółtych i 3 zielone. Losujemy jedną kulę. Dopasuj do każdego zdarzenia jego prawdopodobieństwo. A. Wylosujemy kulę żółtą. B. Wylosujemy kulę czerwoną. C. Wylosujemy kulę żółtą lub zieloną. Do wyboru: 0, 3/8, 5/8, 1.
A — 5/8, B — 0, C — 1. Wszystkich kul jest 5 + 3 = 8. Czerwonej nie ma, więc to zdarzenie niemożliwe; każda kula jest żółta albo zielona, więc C to zdarzenie pewne. Ułamek 3/8 dotyczy kuli zielonej.
Z cyfr 2, 4 i 7 układamy wszystkie liczby dwucyfrowe o różnych cyfrach. Ile jest takich liczb? Oblicz prawdopodobieństwo, że wylosowana spośród nich liczba jest większa od 50.
Liczb jest 6: 24, 27, 42, 47, 72 i 74 — na pierwszym miejscu 3 możliwości, na drugim zostają 2, czyli 3 · 2 = 6. Większe od 50 są dwie z nich, więc prawdopodobieństwo wynosi 2/6 = 1/3.
W pudełku są 4 kule białe i 8 kul czarnych. Ile kul białych trzeba dołożyć do pudełka, aby prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej z tego pudełka było równe 3/5?
Trzeba dołożyć 8 kul białych. Czarnych nie ruszamy, a skoro białe mają stanowić 3/5, to czarne stanowią 2/5 wszystkich kul. Osiem czarnych to 2/5 całości, więc kul ma być 20, białych 12, czyli dokładamy 12 − 4 = 8. Sprawdzenie: 12/20 = 3/5.
Policz, ile jest wszystkich możliwych wyników i ile z nich sprzyja zdarzeniu z polecenia, a potem podziel drugą liczbę przez pierwszą. Gdy w pudełku jest 5 kul żółtych i 3 zielone, prawdopodobieństwo wylosowania żółtej wynosi 5/8. Wynik skracaj.
Nie, kalkulatora używać nie wolno. W tym dziale to żadna przeszkoda: rachunki to mnożenie małych liczb i skracanie ułamków, a odpowiedzi w zadaniach zamkniętych podane są właśnie w postaci ułamków.
Nie. Kombinatoryka na tym egzaminie sprowadza się do wypisywania możliwości i reguły mnożenia. Każde zadanie z tego działu rozwiążesz listą wszystkich przypadków albo drzewkiem.
Częstość pochodzi z doświadczenia: rzuciłeś monetą 20 razy, orzeł wypadł 12 razy, częstość wynosi 12/20 = 3/5. Prawdopodobieństwo liczysz z warunków zadania i dla symetrycznej monety zawsze wynosi 1/2. Im więcej prób, tym bliżej siebie są obie liczby.
Zadania z naszej bazy, sprawdzane natychmiast. Bez logowania.
W tym dziale mamy 17 zadań. Poniżej kilka poleceń — odpowiedzi i wyjaśnienia zobaczysz po rozwiązaniu.
Krótka diagnoza pokazuje wynik od razu, z rozbiciem na części arkusza. Bez logowania i bez opłat.
Wybierz, które kategorie plików cookies akceptujesz. Zgodę możesz zmienić w dowolnym momencie.
Sesja, bezpieczeństwo, podstawowa funkcjonalność (logowanie, koszyk subskrypcji, zabezpieczenia reCAPTCHA). Bez nich serwis nie działa.
Google Analytics 4 — anonimowe statystyki użycia serwisu. Pomaga nam poprawiać aplikację na podstawie tego, które funkcje są faktycznie używane.
Google Ads — remarketing i pomiar skuteczności reklam. Dzięki temu możemy pokazywać Ci trafniejsze reklamy i finansować rozwój darmowej wersji.
Zapamiętywanie preferencji (motyw ciemny/jasny, wybrane przedmioty, ustawienia sesji).
Dopasowywanie treści do Twoich zainteresowań (rekomendacje pytań, spersonalizowane powiadomienia o powtórkach).